1的收敛性例1 考察?2n'- n+1解由于当 n 32 时,有111fn'- n+in'- n n(n- 1)￥1因为正项级数a一az n(n- 1) 收数(S1例5的注),故由1比较原则和定理12.3, 级数 a也收敛。2n-n+l巡回后页前页
前页 后页 返回 例1 解 因为正项级数 收敛 (§1例5的注), 故由 比较原则和定理12.3, 级数 也收敛
例2 若级数au,a 收敛,则级数a u,v,收敛证 因为lu,v,u, +,而级数a u,a收敛,根据比较原则, 得到级数a u,vn收敛,在实际使用上，比较原则的极限形式通常更方便推论(比较原则的极限形式)设a un,a V,是两个正项级数，若ulim"n = l,(3)n?YVn则后页巡回前页
前页 后页 返回 例2 若级数 证 因为 , 而级数 收敛， 根据比较原则, 得到级数 收敛. 在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便. 推论 (比较原则的极限形式) 设 是两个 正项级数,若 则
(i)当0<l<+ 时,级数a u,,? v,同敛散(ii)当 =0 且级数a v,收敛时,级数a u,也收敛(ii)当l=+?且级数a v,发散时,级数a u,也发散证 (i) 由(3) 对任给正数e < l, 存在 某 正数N, 当n>N时,恒有MVn或(4)(l- e)v, <un <(l +e)vn后贡返回前页
前页 后页 返回 证 (i) 由(3) 存在某正数N, 当 n > N时,恒有 或
由比较原则及(4)式得,当 0 <1 <+ 时,级数 a u,与 a V,固时收效或固时发散. 这就证得了(i)(i)当l=0时,由(4)式右半部分及比较原则可得,若级数a V,收敛,则级数a u,也收敛.(ii)若I =+?, 则对于正数1, 存在相应的正数N,当n>N时,都有un>1或u,>Vn.Vn于是由比较原则知 道,若级数a V, 发散, 则级数a u也发散后贡巡回前页
前页 后页 返回 由比较原则及(4)式得, 时, 级数 与 同时收敛或同时发散. 这就证得了(i). (ii) 当l = 0时,由(4)式右半部分及比较原则可得,若 级数 收敛, 则级数 也收敛. 则对于正数1, 存在相应的正数N,当 n > N 时, 都有 于是由比较原则知道, 若级数 发散, 则级数 也发散
1O例3 级数a是收敛的,因为2" - n12"12" - n= limlimlim12"- nhn??n??n??1 -2"2"1以及等比级数a收敛，根据比较原则的极限形H21也收敛，式,级数?2" - n滋回前页后页
前页 后页 返回 例3 级数 是收敛的, 因为 以及等比级数 收敛, 根据比较原则的极限形