第二章函数、导数及其应用 吉林人民出版社五编室刘小平 第十节函数模型及其应用 高考目标展示 高考考点 要求 函数模型及其应用 了解指数函数、对数函数以及幂函数 的增长特征;知道直线上升、指数增长 对数增长等不同函数类型增长的含义 了解函数模型(如指数函数、对数函 数、幂函数、幂函数、分段函数等在社 会生活中普遍使用的函数模型)的广泛 使用。 基础知识再现 、基础知识梳理 知识 内容 函常见的函数模型有:①、②、③、④、⑤ 函数(>) 性质 在(∞)上的⑥ 几增减性 种增长速度 函 模|图像的变化「随增大逐随增大逐渐「随值变 型 渐表为与表为与 化而不同 性 平行平行 质 =(1)指数函数()与幂函数()在区间(∞),无论比大多少,尽管在的 种 定范围内会小于,但由于的增长速度的增长速度,因而总存在一个 当>时有 型 ()对数函数(>)与幂函数(>)对数函数(>)的增长速度,不论与值的大 数小如何总会的增长速度因而在定义域内总存在一个实数使>时有 之|由(0可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不 同,且不在同一个档次上,因此在(∞)上,总会存在一个,使>时有
第二章 函数、导数及其应用 吉林人民出版社五编室 刘小平 第十节 函数模型及其应用 高考目标展示 高考考点 要求 函数模型及其应用 了解指数函数、对数函数以及幂函数 的增长特征；知道直线上升、指数增长、 对数增长等不同函数类型增长的含义； 了解函数模型（如指数函数、对数函 数、幂函数、幂函数、分段函数等在社 会生活中普遍使用的函数模型）的广泛 使用。 基础知识再现 一、基础知识梳理 知识 点 内容 函 数 模 型 类 型 常见的函数模型有：①、②、③、④、⑤ 几 种 函 数 模 型 的 性 质 函数 性质 (>) (>) (>) 在(∞)上的 增减性 ⑥ ⑦ ⑧ 增长速度 ⑨ ⑩ 图像的变化 随增大逐 渐表为与 平行 随增大逐渐 表为与 平行 随值变 化而不同 三 种 增 长 型 函 数 之 间 增 长 速 度 的 比 较 (1) 指数函数 (>)与幂函数 (>)在区间(∞)，无论比大多少，尽管在的一 定范围内会小于，但由于的增长速度的增长速度,因而总存在一个, 当>时有 . （）对数函数 (>)与幂函数 (>)对数函数 (>)的增长速度，不论与值的大 小如何总会的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数,使>时有. 由()()可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不 同，且不在同一个档次上,因此在（∞)上，总会存在一个，使>时有
参考答案:一次函数模型二次函数模型指数函数模型 对数函数模型幂函数 增函数增函数增函数越来越快越来越慢相对平稳 快于a2>x"慢于x">log。xa2>x”> log xi(a>1) 基础题自测 我国为了加强对烟酒生产的宏观调控,除了应征税外还要征收附加税,已知某种 酒每瓶售价为元,不收附加税时,每年大约销售万瓶若每销售元国家要征附加税为 元(税率),则每年销售量减少万瓶,为了要使每年在此项经营中收取的附加税额 不少于万元,则的最小值为() 【提示】依题意解得(100-10x)·70·≥112,≤≤,则的最小值为 故选 从年月日起全国储蓄存款征收利息税利息税的税率为,由各银行储蓄点代扣代 收,某人年月日存入若干万元人民币,年利率为,到年月日取款时被银行扣除利 息税元,则该存款人的本金介于 万元 万元万元 万元 【提示】设存入的本金为,则…,:x=1386400=3460 故选 某物体一天中的温度(单位:℃)是时间(单位)的函数Ot3表示中午:,其后取正值, 则下午时温度为 C℃℃℃ 【提示】由题意,下午时,∴O℃.故选 某种商品降价后,欲恢复原价,则应提价≈ 【提示】设商品原来的价格为,现应提价,由题意得:a(1-10%1+x%)=a 得 为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下: 加密 发送解密 明文—密文 密文明文一 已知加密为y=a-2(为明文为密文),如果明文“”通过加密后得到密文为“”, 再发送,接受方通过解密得到明文“”,若接受方接到密文为“”,则原发的明文 是 【提示】依题意中,当时,,故,解得所以加密为,因此,当时,由,解得 课堂导与练 、【重点、难点】
参考答案：一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型幂函数 增函数增函数 增函数 越来越快越来越慢 相对平稳 快于 x n a x 慢于 log n a x x log ( 1) x n a a x x a 基础题自测 .我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税外还要征收附加税，已知某种 酒每瓶售价为元，不收附加税时,每年大约销售万瓶,若每销售元国家要征附加税为 元（税率）,则每年销售量减少万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附加税额 不少于万元，则的最小值为 （ ） 【提示】依题意解得 (100 10 ) 70 112, 100 x − x ≤≤,则的最小值为. 故选 .从年月日起,全国储蓄存款征收利息税,利息税的税率为，由各银行储蓄点代扣代 收，某人年月日存入若干万元人民币，年利率为，到年月日取款时被银行扣除利 息税元,则该存款人的本金介于 （ ） 万元 万元 万元 万元 【提示】设存入的本金为， 则··， 1 386 400 34660. 40 = = x 故选 .某物体一天中的温度(单位:℃)是时间(单位) 的函数() 3 t 表示中午∶，其后取正值, 则下午时温度为 （ ） ℃℃℃℃ 【提示】由题意，下午时，，∴()℃. 故选 ．某种商品降价后，欲恢复原价，则应提价 【提示】设商品原来的价格为，现应提价,由题意得： a x a (1 10%)(1 %) − + = 得 .为了保证信息安全，传输必须使用加密方式,有一 种方式其加密、解密原理如下： 加密 发送解密 明文 密文 密文明文 已知加密为 2 x y a = − （为明文为密文）,如果明文“”通过加密后得到密文为“”， 再发送，接受方通过解密得到明文“”，若接受方接到密文为“”，则原发的明文 是. 【提示】依题意中，当时，,故，解得.所以加密为，因此，当时，由,解得. 课堂导与练 一、【重点、难点】
内容 剖析 求解函数应用题的一般方法 “数学建模”是解决数学应用题的重要 方法,解应用题的一般程序是 0审题弄清题意分清条件和结论理 顺数量关系,初步选择数学模型 O建模将文字语言转化成数学语言,用 数学知识建立相应的数学模型 (求模求解数学模型得到数学结论 0还原将用数学方法得到的结论还原 为实际问题的意义可以用示意图表示 [实际问题 分析 反 同时要特别关注实际问题的自变量的 取值范围,合理确定函数的定义域 二【典型例题】 题型一:一次、二次函数模型 例.某旅游点有辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日元根据 经验若每辆自行车的日租金不超过元,则自行车可以全部租出;若超出元,则每超 过元,租不出的自行车就增加辆为了便于结算,每辆自行车的日租金(元)只取整 数并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用用(元)表示出 租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得) 0求函数O的解析式及其定义域: O试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多? 解:()当≤时,令>,解得> ∵∈,∴≥,∴≤≤,∈ 当>时,[()] 令[(),有3x2< 上述不等式的整数解为≤≤(∈) ≤(∈) 50x-115 3≤x≤6,x∈N) 故 -3x2+68x-115(6<x≤20x∈N)定义域为{≤≤∈ 0对于(≤≤∈) 显然当时,ym(元),对于x 34、281l 6<x≤20,x∈N)
二【典型例题】 题型一：一次、二次函数模型 例．某旅游点有辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日元.根据 经验,若每辆自行车的日租金不超过元,则自行车可以全部租出; 若超出元，则每超 过元，租不出的自行车就增加辆. 为了便于结算，每辆自行车的日租金(元)只取整 数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用（元）表示出 租自行车的日净 收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）. ()求函数()的解析式及其定义域； ()试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 ：（）当≤时，,令>，解得>. ∵∈，∴≥，∴≤≤，∈， 当>时，[（）]. 令[（）]>,有 2 3x <, 上述不等式的整数解为≤≤ (∈）, ∴<≤ (∈). 故 2 50 115 (3 6, N ) , 3 68 115 (6 20, N ) x x x y x x x x + + − = − + − 定义域为{≤≤∈}. ()对于 (≤≤∈). 显然当时， max y (元)，对于 2 x 34 811 2 3( ) (6 20, N ). 3 3 x x x + = − − + 内容 剖析 求解函数应用题的一般方法 “数学建模”是解决数学应用题的重要 方法,解应用题的一般程序是： ()审题:弄清题意,分清条件和结论,理 顺数量关系，初步选择数学模型 ()建模:将文字语言转化成数学语言,用 数学知识建立相应的数学模型； ()求模:求解数学模型,得到数学结论； ()还原:将用数学方法得到的结论还原 为实际问题的意义.可以用示意图表示 为： 同时要特别关注实际问题的自变量的 取值范围,合理确定函数的定义域
当时,ym(元) ∵>,∴当每辆自行车的日租金定在元时,才能使一日的 净收入最多 题型二:指数函数模型与幂函数模型 例.某城市现有人口总数为万人,如果年自然增长率为,试解答以下问题:0写出该 城市人口总数(万人)与年份(年)的函数关系式; O计算年以后该城市人口总数(精确到万人 O计算大约多少年以后,该城市人口将达到万人(精确到年 如果年后该城市人口总数不超过万人,年自然增长率应该控制在多少?(参考 数据≈, ≈ 解:()设每年人口平均增长率为,年前的人口数为 则·0,则当时, 即C 两边取对数,则(), ()依题意,≤0 得≤ ∴≤,故人口至多有亿 答:每年人口平均增长率为,年人口至多有亿 题型三:分段函数模型 例.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物释放过程中, 室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(小时)成正比;药物释放完毕后,与 的函数关系式为=0)(为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题: y(毫克) O从药物释放开始,每立方米空气中 的含药 量(毫克)与时间(小时)之间的函数关 0据测定,当空气中每立方米的含药O7 系为 (小时) 量降低 到毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过小时后, 学生才能回到教室 解:Q设=,由图象知=过点0,则 ≤≤); 由=0)过点O得=( 0由0≤=得≥,故至少需经过小时
当时， max y （元）. ∵>，∴当每辆自行车的日租金定在元时，才能使一日的 净收入最多. 题型二：指数函数模型与幂函数模型 例．某城市现有人口总数为万人,如果年自然增长率为，试解答以下问题：()写出该 城市人口总数（万人）与年份（年)的函数关系式； ()计算年以后该城市人口总数(精确到万人); ()计算大约多少年以后，该城市人口将达到万人（精确到年）. ()如果年后该城市人口总数不超过万人，年自然增长率应该控制在多少？（参考 数据≈，≈，≈≈≈≈ ） 解 : （）设每年人口平均增长率为，年前的人口数为， 则·()，则当时，， 即()，∴()， 两边取对数，则（）， 则（） ，∴≈，得. （）依题意，≤()， 得 ≤× , ∴≤，故人口至多有亿. 答 ： 每年人口平均增长率为，年人口至多有亿. 题型三 ：分段函数模型 例．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中， 室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(小时)成正比；药物释放完毕后，与 的函数关系式为＝() － (为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： ()从药物释放开始，每立方米空气中 的含药 量(毫克)与时间(小时)之间的函数关 系为； ()据测定，当空气中每立方米的含药 量降低 到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后， 学生才能回到教室. 解：()设＝，由图象知＝过点()，则 ＝×，＝，∴＝(≤≤)； 由＝() －过点()得＝() －， ＝，∴＝() － (＞). ()由() －≤＝得≥，故至少需经过小时
10t,0≤t≤0.1 答案:O ,t>0.1 题型四:函数模型的综合应用 例.(·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需 要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成 本为万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:) 满足关系:C(x)=,-(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为万元.设 f(x)为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和 (I)求k的值及f(x)的表达式 (Ⅱ)隔热层修建多厚对,总费用f(x)达到最小,并求最小 解:(1)设隔热层厚度为xcm,由题设,每年能源消耗费用为c()=2 再由C(0)=8,得k=40,因此C(3x+5 而建造费用为C(x)=6x, 最后得隔热层建造费用与20年Y能源消耗费用之利 f(a)=20C(x)+C(x)=20x.o 3x+5 .6r 40<x<IO) (Ⅱ)f(x)=6、、2400,令f(x)=0,四、2400=6 (3x+5) 解得x=5,x=-25(舍去) 当0<x<5时,f(x)<0,当5<x<10时,f(x)>0,故x=5是∫(x)的最小值 点,对应的最小值为f(5)=6×5+50=70. 当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值70万元, 规律方法总结 二次函数是我们比较熟悉的基本函数建立二次函数模型可以求出函数的最值解 决实际中的最优化问题,值得注意的是:一定要注意自变量的取值范围,根据图 像的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解 指数和幂指数增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+P) (其中是基础数,为增长率,为时间)和幂函数模型y=a(1+x)"(其中为基础数,为 增长率,为时间)的形式解题时,往往用到对数运算
答案：()＝ t-0.1 10t,0≤t ≤0.1 1 ( ) , 0.1 t > 16 () 题型四 ： 函数模型的综合应用 例．（·湖北）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶 和外墙需 要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成 本为万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度 x （单位：） 满足关系： ( ) (0 10) 3 5 k C x x x = + ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元．设 f x( ) 为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和． （Ⅰ）求 k 的值及 f x( ) 的表达式； （Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用 f x( ) 达到最小，并求最小 解： 规律方法总结 ．二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解 决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图 像的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解. ．指数和幂指数增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型 (1 )x y N P = + (其中是基础数，为增长率，为时间)和幂函数模型 (1 )n y a x = + (其中为基础数，为 增长率，为时间)的形式.解题时，往往用到对数运算