3.2函数模型及其应用 3.2.1几类不同增长的函数模型 、点击考点 1.数学模型为一次函数的问题 次函数也是最常见的一种函数模型,在初中就已经接触过。 例]某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远的B地,在B地停留1h后,再以 50km/h的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x(km)表示为时间t(h)(从A地出发时开始) 的函数,并画出函数的图象:再把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数,并画出函数的图象 [解]汽车离开A地的距离xkm与时间th之间的关系是: t∈[025] r(km) 150 t∈(2.53.5 u50-50(-35)t∈(3.565] 它的图象右如图所示. 2.53.56.5th) 速度vkm/h与时间th的函数关系是: t u(km/h) t∈[02.5 t∈[253.5 50,B3.565) -40 它的图象如右图所示 -60}-50 2.数学模型为二次函数的问题 二次函数为生活中最常见的一种数学模型,因二次函数可求其最大值(或最小值),故常 常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。 [例]渔场中鱼群的最大养殖量为m吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到 最大养殖量,必须留下适当的空闲量,已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率 的乘积成正党组织,比例系数为k(k>0 (1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域 (2)求鱼群年增长量的最大值 (3)当鱼群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围 [例](1)y=kx1--)0<x<m) k k (2) -(x2-mx)= 今(x-m ∴当x="时,y取得最大值 (3)依题意,为保证鱼群留有一定的生长空间,则有实际养殖量与年增长量的和小于最 大养殖量,即0<x+y<m 因为当x=m时,y大=6团,所以联想到“八(xy)(xy)<a”这一等价转化 命题,则有
3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 一、点击考点 1．数学模型为一次函数的问题 一次函数也是最常见的一种函数模型，在初中就已经接触过。 ［例］某人开汽车以 60km/h 的速度从 A 地到 150km 远的 B 地，在 B 地停留 1h 后，再以 50km/h 的速度返回 A 地，把汽车离开 A 地的距离 x (km)表示为时间 t (h)（从 A 地出发时开始） 的函数，并画出函数的图象；再把车速 v (km/h)表示为时间 t (h)的函数，并画出函数的图象. ［解］汽车离开 A 地的距离 x km 与时间 t h 之间的关系是： − − = 150 50( 3.5), 150, 60 , t t x (3.5,6.5]. (2.5,3.5], [0,2.5], t t t 它的图象右如图所示. 速度 v km/h 与时间 t h 的函数关系是： − 50, 0, 60, x [3.5,6.5). [2.5,3.5), [0,2.5), t t 它的图象如右图所示 2．数学模型为二次函数的问题 二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常 常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。 ［例］渔场中鱼群的最大养殖量为 m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到 最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量 y 吨和实际养殖量 x 吨与空闲率 的乘积成正党组织，比例系数为 k(k 0). （1）写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值； （3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求 k 的取值范围. ［例］（1） (1 )(0 x m) m x y = kx − ； （2）∵ . 4 ) 2 ( ) ( 2 2 m k m x m k x mx m k y = − − = − − + ∴当 2 m x = 时， y 取得最大值 . 4 km （3）依题意，为保证鱼群留有一定的生长空间，则有实际养殖量与年增长量的和小于最 大养殖量，即 0 x + y m. 因为当 2 m x = 时， 4 km y最大 = ，所以联想到“ f (x, y) fmax (x, y) a ”这一等价转化 命题，则有
0<m+Mm<m,解得-2<k<2 但k>0,从而得0<k<2 思考:本题中空闲养殖量与实际养殖率的关系如何?而实际养殖率与实际养殖量、最大 养殖量的关系又是如何? 3.数学模型为指数函数的问题 一般地,形如y=ar(a>O且a≠1)的函数叫做指数函数,而在生产、生活实际中,以函 数y=b·a+k作为模型的应用问题很常见 [例]某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%, 每过滤一次可使杂质含量减少一,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知 l2=0.3010g3=0.4771) [分析]每次过滤杂质含量降为原来的,过滤n次后杂质含量为,·(=)y,结合按市 1003 场要求杂质含量不能超过0.1%,即可建立数学模型. [解析]依题意,得 1003)s1,即(≤则mg2-g3)≤-(1+g2),故 1+g2 3-2≈74考虑到n∈N,即至少要过滤8次才能达到市场要求 4.数学模型为对数函数的问题 形如y=lgax(a>0且a≠1)的函数叫做对数函数,a>1时,此函数为增函数 0<a<1时,此函数为减函数,虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多,但我们 知道,对数运算实际是求指数的运算,因此在指数函数模型中,也常用对数计算 [例]在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度vm/s和燃料的质量M(kg)、火箭 (除燃料外)的质量m(kg)的关系ν=2000n(1+-)当燃料质量是火箭质量的多少倍时,火 箭的最大速度可达12km/s? [解]由12000=2000(1+-),即6=h(1+-)1+=e°,利用计算器算得 ≈402 例]某城市现有人口100万,如果20年后该城市人口总数不超过120万,年自然增长 率应控制在多少以内? [解]设年自然增长率为x,依题意有: 100×(1+x)20≤120 (1+x)20≤1.2 20g(1+x)≤lg1.2, 1+x)≤g1.2
m m km + 2 4 0 ，解得 −2 k 2. 但 k 0 ，从而得 0 k 2. 思考：本题中空闲养殖量与实际养殖率的关系如何？而实际养殖率与实际养殖量、最大 养殖量的关系又是如何？ 3．数学模型为指数函数的问题 一般地，形如 y = a (a 0 a 1) x 且 的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函 数 y b a k x = • + 作为模型的应用问题很常见. ［例］某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过 0.1%，若初时含杂质 2%， 每过滤一次可使杂质含量减少 3 1 ，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知： lg 2 = 0.3010,lg 3 = 0.4771 ） ［分析］每次过滤杂质含量降为原来的 3 2 ，过滤 n 次后杂质含量为 n ) 3 2 ( 100 2 • ，结合按市 场要求杂质含量不能超过 0.1%，即可建立数学模型. ［解析］依题意，得 1000 1 ) 3 2 ( 100 2 • n ，即 20 1 ) 3 2 ( n .则 n(lg 2 − lg 3) −(1+ lg 2) ，故 7.4, lg 3 lg 2 1 lg 2 − + n 考虑到 nN ，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求。 4．数学模型为对数函数的问题 形如 y x a = log （ a 0 且 a 1 ）的函数叫做对数函数， a 1 时，此函数为增函数； 0 a 1 时，此函数为减函数，虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多，但我们 知道，对数运算实际是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算。 ［例］在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 v (m/s)和燃料的质量 M (kg)、火箭 （除燃料外）的质量 m (kg)的关系 2000ln(1 ). m M v = + 当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火 箭的最大速度可达 12km/s？ ［解］由 12000 2000ln(1 ) m M = + ，即 6 6 ln(1 ),1 e m M m M = + + = ，利用计 算器算得 402. m M ［例］某城市现有人口 100 万，如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万，年自然增长 率应控制在多少以内？ ［解］设年自然增长率为 x ，依题意有： lg1.2. 2 1 lg(1 ) 20lg(1 ) lg1.2, (1 ) 1.2, 100 (1 ) 120, 20 20 + + + + x x x x
由计算器计算得x≤09% 答:年自然增长率应控制在09%以内 5.比较函数模型的增长趋势 比较函数模型的增长趋势一般有两条途径:(1)不等式的方法,即作差比较或解不等式 (2)结合函数的图象,数形结合的方法 例]为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所 使用的“便民卡”和“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元) 的关系如图所示 v(元) y(元) B(3035) 0 2040x(分)O2040x(分) (1)分别求出通话费y、y2与通话时间x之间的函数关系式; (2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡比较使用 [分析]由图形可知,函数关系是线性关系,因此,可以用一次函数解决实际问题 [解](1)由图象可设y=kx+29,y2=kx,把点B(3035)、C3015)分别代入所设两 函数式中得k=,k n=-x+29,y2-2 (2)令H=马2,即x+29 即x=96 当x=965时,=y2,两种卡收费一致 32-323 当x<96时,y>y2,即“如意卡”便宜; 当x>965时,y<y2,即“便民卡”便宜 [点评]使用哪种电话卡使用属于最优化问题,常借助于函数的图象、函数的最值去解 6、分段函数问题; [考题1]“依法纳税是每个公民应尽的义务”,国家征收个人工资、薪金所得税是分段计 算的:总收入不超过1000元的,免征个人工资、薪金所得税:超过1000元部分需征税,设 全月纳税所得额(所得额指工资、薪金中应纳税的部分)为x,x=全月总收入-1000元,税 率见下表 级数 全月应纳税所得额x 不超过500元部分 2 超过500元至2000元部分 10%
由计算器计算得 x 0.9 %。 答：年自然增长率应控制在 0.9%以内。 5．比较函数模型的增长趋势 比较函数模型的增长趋势一般有两条途径：（1）不等式的方法，即作差比较或解不等式； （2）结合函数的图象，数形结合的方法。 ［例］为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所 使用的“便民卡”和“如意卡”在某市范围内每月（30 天）的通话时间 x (分)与通话费 y (元) 的关系如图所示. （1）分别求出通话费 1 y 、 2 y 与通话时间 x 之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡比较使用. ［分析］由图形可知，函数关系是线性关系，因此，可以用一次函数解决实际问题. ［解］（1）由图象可设 y k x y k x 1 1 2 2 = + 29, = ，把点 B(30,35) 、C(30,15) 分别代入所设两 函数式中得 . 2 1 , 5 1 k1 = k2 = ∴ . 2 1 29, 5 1 1 2 y = x + y = x （2）令 1 2 y = y ，即 x x 2 1 29 5 1 + = ，即 . 3 2 x = 96 当 3 2 x = 96 时， 1 2 y = y ，两种卡收费一致； 当 3 2 x 96 时， 1 2 y y ，即“如意卡”便宜； 当 3 2 x 96 时， 1 2 y y ，即“便民卡”便宜. ［点评］使用哪种电话卡使用属于最优化问题，常借助于函数的图象、函数的最值去解 决. 6、分段函数问题； ［考题 1］“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计 算的：总收入不超过 1000 元的，免征个人工资、薪金所得税；超过 1000 元部分需征税，设 全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为 x, x = 全月总收入－1000 元，税 率见下表： 级数 全月应纳税所得额 x 税率 1 不超过 500 元部分 5% 2 超过 500 元至 2000 元部分 10%
超过2000元至5000元部分 超过1000元部分 (1)若应纳税额为f(x),试用分段函数表示1-3级纳税额∫(x)的计算公式 (2)某人2000年10月份工资总收入为4200元,试计算这个人10月份应纳个人所得税 多少元? [解析](1)依税率表,有 第一级:x·5% 第二级:(x-500)·10%+500·5% 第三级:(x-2000)·15%+1500·10%+500·5% 0.05X (0<x≤500 即f(x)=0.1(x-500)+25500<x≤2000 05x-20004175(2000x≤5000 (2)这个人10月份纳税所得额x=4200-1000=3200, f(3200)=0.15(3200-2000)+175=355 答:这个人10月份应缴纳个人所得税355元。 [点评]本题实际上是用表格形式给出的一个分段的一次函数,要注意这个分段函数中x 的不同取值范围 [考题2]某公司生产一种产品每年投入固定成本05万元,此外每生产100件这种产品 还需要增加投资0.25万元,经预测知,市场对这种产品的年需求量为500件,且当出售的这 种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5-t2(万元) (1)若该公司的年产量为x(单位:百件)(x>0)时,试把该公司生产并销售这种产品 所得的年利润表示为当年产量x的函数 (2)当该公司的年产量多大时,当年所得利润最大? [解析](1)当0<x≤5时,产品全部出售,当x>5时,产品只能出售500件. (5x--x2)-(0.5+0.25x)(0<x≤5) ∴.f(x) (5×5-×5)-(0.5+025xXx>5 (2)当0<x≤5时, f(x)=-1(x2-95-05=-1(x-95y+85 当x=475时,f(x)有最大值f(x)ms=10.80 当x>5时,f(x)=12-0.25x为单调减函数,∴f(x)<f(5)=10.75 又∵10.80>10.75,∴f(x)=10.80,此时x=475(件), ∴当年产量为475件时,利润最大 点评]求分段函数的最值和值域时,应先分段分别求其最值和值域,再以各段的最大
3 超过 2000 元至 5000 元部分 15% … … …45% 9 超过 100000 元部分 （1）若应纳税额为 f (x) ，试用分段函数表示 1—3 级纳税额 f (x) 的计算公式. （2）某人 2000 年 10 月份工资总收入为 4200 元，试计算这个人 10 月份应纳个人所得税 多少元？ ［解析］（1）依税率表，有 第一级： x • 5%, 第二级： (x − 500) •10% + 500 •5%, 第三级： (x − 2000) •15% +1500 •10% + 500 •5%. 即 − + = − + 0.15( 2000) 175 0.1( 500) 25 0.05 ( ) x x x f x (2000 5000). (500 2000), (0 500), x x x （2）这个人 10 月份纳税所得额 x = 4200 −1000 = 3200, f (3200) = 0.15(3200 − 2000) +175 = 355. 答：这个人 10 月份应缴纳个人所得税 355 元。 ［点评］本题实际上是用表格形式给出的一个分段的一次函数，要注意这个分段函数中 x 的不同取值范围. ［考题 2］某公司生产一种产品每年投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 100 件这种产品 还需要增加投资 0.25 万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为 500 件，且当出售的这 种产品的数量为 t （单位：百件）时，销售所得的收入约为 2 2 1 5t − t （万元）. （1）若该公司的年产量为 x （单位：百件） (x 0) 时，试把该公司生产并销售这种产品 所得的年利润表示为当年产量 x 的函数. （2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？ ［解析］（1）当 0 x 5 时，产品全部出售，当 x 5 时，产品只能出售 500 件. ∴ − − + − − + = 5 ) (0.5 0.25 )( 5). 2 1 (5 5 ) (0.5 0.25 )(0 5), 2 1 (5 ( ) 2 2 x x x x x x f x （2）当 0 x 5 时， , 8 85.75 ) 2 9.5 ( 2 1 ( 9.5 ) 0.5 2 ( ) 2 2 − − = − − + f x = − x x x ∴当 x = 4.75 时， f (x) 有最大值 ( ) 10.80. f x max = 当 x 5 时， f (x) =12 − 0.25x 为单调减函数，∴ f (x) f (5) =10.75. 又∵ 10.80 10.75 ，∴ f (x)max =10.80 ，此时 x = 475 （件）， ∴当年产量为 475 件时，利润最大. ［点评］求分段函数的最值和值域时，应先分段分别求其最值和值域，再以各段的最大
值和最大者为函数的最大值,各段的最小值中最小者为函数的最小值:而各段的值域的并集 则是函数的值域 第三章单元知识梳理与能力整合 、考点聚焦 函数的零点与其对应方 数 程根的关系 与 程用三分法求方程的近似解 画函數的应用} 園广匹关不同增长的画数楼型 模 问 用已知函数模型解决问题 题 其 用 莫型 建立实际问题的函数模 二、基本思想总结 1.数形结合的思想 数形结合的思想是本章重要的数学思想 [例1]某公司试销一种成本单价为500元/件的新产4- 规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/200 件 经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似1 看作 一次函数y=kx+b的关系(如图所示) (1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式:(2)设公司获得的毛利润(毛利润 销售总价一成本总价)为S元。①试用销售单价x表示毛利润S:②试问销售单价定为多少时 该公司可获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少? [解析](1)由图象知,当x=600时,y=400;当x=700时,y=300,代入y=kx+b 中,得
值和最大者为函数的最大值，各段的最小值中最小者为函数的最小值；而各段的值域的并集 则是函数的值域。 第三章 单元知识梳理与能力整合 一、考点聚焦 二、基本思想总结 1．数形结合的思想 数形结合的思想是本章重要的数学思想。 ［例 1］某公司试销一种成本单价为 500 元/件的新产 品 ， 规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于 800 元/ 件 ， 经试销调查，发现销售量 y (件)与销售单价 x (元/件)可近似 看 作 一次函数 y = kx+ b 的关系（如图所示）。 （1）根据图象，求一次函数 y = kx+ b 的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润= 销售总价－成本总价）为 S 元。①试用销售单价 x 表示毛利润 S；②试问销售单价定为多少时， 该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？ ［解析］（1）由图象知，当 x = 600 时， y = 400 ；当 x = 700 时， y = 300 ，代入 y = kx+ b 中，得