课时作业(十一)[第11讲函数模型及其应用] 时间:45分钟分值:100分 基础热身 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作 时间t的函数,其图象可能是() 图Kl-1 2.某商店己按每件80元的成本购进某商品1000件,根据市场预测,销售价为每件100元时可全部售 完,定价每提高1元时销售量就减少5件,若要获得最大利润,销售价应定为每件() A.100元B.110元 C.150元D.190元 3.某文具店出售羽毛球拍和羽毛球,球拍每副定价20元,羽毛球每个定价5元,该店制定了两种优 惠方法:①买一副球拍赠送一个羽毛球;②按总价的92%付款.现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球,两 种方法中() A.不能确定哪种省钱B.①②同样省钱 C.②省钱D.①省钱 在一次数学试验中,采集到如下一组数据 200-1000_100200300 202398802 则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系数)() C. y=ax+b D. y=a+ 能力提升 5.国家规定个人稿费纳税办法是:不超过800元的不纳税:超过800元而不超过4000元的按超过800 元部分的14%纳税:超过4000元的按全部稿酬的11%纳税.已知某人出版一本书,共纳税420元,这个人 应得稿费(扣税前)为() A.2800元B.3000元 C.3800元D.3818元 6.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别 如图K11-2所示.那么对于图中给定的t0和,下列判断中一定正确的是() 图K1-2 A.在n1时刻,甲车在乙车前面 B.1时刻后,甲车在乙车后面 C.在1时刻,两车的位置相同 D.1时刻后,乙车在甲车前面 7.某产品的总成本万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=300+20x-0.1x2,x∈(0,240,若每 台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为() A.100台B.120台 C.150台D.180台
1 课时作业(十一) [第 11 讲 函数模型及其应用] [时间：45 分钟 分值：100 分] 基础热身 1． 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作 时间 t 的函数，其图象可能是( ) 图 K11－1 2．某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件，根据市场预测，销售价为每件 100 元时可全部售 完，定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( ) A．100 元 B．110 元 C．150 元 D．190 元 3． 某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价 20 元，羽毛球每个定价 5 元，该店制定了两种优 惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的 92%付款．现某人计划购买 4 副球拍和 30 个羽毛球，两 种方法中( ) A．不能确定哪种省钱 B．①②同样省钱 C．②省钱 D．①省钱 4．在一次数学试验中，采集到如下一组数据： x －2.00 －1.00 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则 x，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中 a，b 为待定系数)( ) A．y＝a＋bx B．y＝a＋b x C．y＝ax2＋b D．y＝a＋ b x 能力提升 5．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4 000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税；超过 4 000 元的按全部稿酬的 11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税 420 元，这个人 应得稿费(扣税前)为( ) A．2 800 元 B．3 000 元 C．3 800 元 D．3 818 元 6．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别 如图 K11－2 所示．那么对于图中给定的 t0 和 t1，下列判断中一定正确的是( ) 图 K11－2 A．在 t1 时刻，甲车在乙车前面 B．t1 时刻后，甲车在乙车后面 C．在 t0 时刻，两车的位置相同 D．t0 时刻后，乙车在甲车前面 7． 某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y＝3 000＋20x－0.1x 2，x∈(0,240)，若每 台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为( ) A．100 台 B．120 台 C．150 台 D．180 台
8.图K11-3是统计图表,根据此图表得到以下说法,其中正确的有() ①这几年人民的生活水平逐年得到提高 ②人民的生活收入增长最快的一年是1998年 ③生活价格指数上涨最快的一年是1999年 ④虽然2000年生活收入增长量缓慢,但由于生活价格指数有较大下降,因而人民的生活仍有较大改善 生活收入指敦 生活价格指数 om92002M0 图Kl-3 A.1项B.2项 C.3项D.4项 9.将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中,tmin后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y=ae".若smin 后甲桶和乙桶的水量相等,又过了mmin后甲桶中的水只有。L,则m的值为( A.7B.8 10.一种产品的成本原为a元,在今后的m年内,计划使成本平均每年比上一年降低p%,成本y是经 过年数x(0<x≤m)的函数,其关系式y=fx)可写成 11.某出租车公司规定乘车收费标准如下:3km以内为起步价8元(即行程不超过3km,一律收费8元) 若超过3km,除起步价外,超过的部分再按1.5元/km计价:若司机再与某乘客约定按四舍五入以元计费不 找零钱.已知该乘客下车时乘车里程数为74km,则该乘客应付的车费为 12.计算机的价格大约每3年下降,那么今年花8100元买的一台计算机,9年后的价格大约是 元 13.某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升,中间几次连续下降的趋势, 现有三种函数模型:①fx)=pg,②x)= logar+q,③x)=(x-1)(x-q)2+p(其中p,q为正常数,且q>2).能 较准确反映数学成绩与考试序次关系,应选 作为模拟函数;若1)=4,f3)=6,则所选函数fx)的 解析式为 14.(10分)电信局为了配合客户不同需要,设有A,B两种优惠方案.这两种方案应付话费y(元)与通话 时间x(min)之间的关系如图K11-4所示,其中MN∥CD 1)若通话时间为2h,按方案A,B各应付话费多少元? (2)方案B从500min以后,每分钟收费多少元? (3)通话时间在什么范围内,方案B比方案A优惠? 方 8 500通话时间min 图K1 15.(13分)某企业拟在2011年度进行一系列促销活动,已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元 之间满足3-x与t+1成反比例,当年促销费用t=0万元时,年销量是1万件.已知2011年产品的设备折旧、 维修等固定费用为3万元,每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用,若将每件产品售价定为:其生产 成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和,则当年生产的商品正好能销完 (1)将2011年的利润(万元)表示为促销费万元)的函数
2 8．图 K11－3 是统计图表，根据此图表得到以下说法，其中正确的有( ) ①这几年人民的生活水平逐年得到提高； ②人民的生活收入增长最快的一年是 1998 年； ③生活价格指数上涨最快的一年是 1999 年； ④虽然 2000 年生活收入增长量缓慢，但由于生活价格指数有较大下降，因而人民的生活仍有较大改善． 图 K11－3 A．1 项 B．2 项 C．3 项 D．4 项 9． 将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线 y＝ae nt .若 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，又过了 m min 后甲桶中的水只有a 8 L，则 m 的值为( ) A．7 B．8 C．9 D．10 10．一种产品的成本原为 a 元，在今后的 m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低 p%，成本 y 是经 过年数 x(0<x≤m)的函数，其关系式 y＝f(x)可写成________． 11．某出租车公司规定乘车收费标准如下：3 km 以内为起步价 8 元(即行程不超过 3 km，一律收费 8 元)； 若超过 3 km，除起步价外，超过的部分再按 1.5 元/km 计价；若司机再与某乘客约定按四舍五入以元计费不 找零钱．已知该乘客下车时乘车里程数为 7.4 km，则该乘客应付的车费为________． 12． 计算机的价格大约每3年下降2 3 ，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________ 元． 13． 某同学高三阶段 12 次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势， 现有三种函数模型：①f(x)＝pqx，②f(x)＝logax＋q，③f(x)＝(x－1)·(x－q) 2＋p(其中 p，q 为正常数，且 q>2)．能 较准确反映数学成绩与考试序次关系，应选________作为模拟函数；若 f(1)＝4，f(3)＝6，则所选函数 f(x)的 解析式为________________． 14．(10 分)电信局为了配合客户不同需要，设有 A，B 两种优惠方案．这两种方案应付话费 y(元)与通话 时间 x(min)之间的关系如图 K11－4 所示，其中 MN∥CD. (1)若通话时间为 2 h，按方案 A，B 各应付话费多少元？ (2)方案 B 从 500 min 以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案 B 比方案 A 优惠？ 图 K11－4 15．(13 分) 某企业拟在 2011 年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量 x 万件与年促销费用 t 万元 之间满足 3－x 与 t＋1 成反比例，当年促销费用 t＝0 万元时，年销量是 1 万件．已知 2011 年产品的设备折旧、 维修等固定费用为 3 万元，每生产 1 万件产品需再投入 32 万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产 成本的 150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完． (1)将 2011 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数；
(2)该企业2011年的促销费投入多少万元时,企业年利润最大? (注:利润=销售收入一生产成本一促销费,生产成本=固定费用+生产费用) 难点突破 16.(12分)如图K11-5所示的是自动通风设施,该设施的下部ABCD是等腰梯形,其中AB=1m,高 05m,CD=2~=)m.上部CmD是个半圆,固定点E为CD的中点,△EMN是一个由电脑控制形状变 化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆 (1)设MN与AB之间的距离为xm,试将三角通风窗EMN的通风面积S(m2)表示成关于x的函数 (2)当MN与AB之间的距离为多少m时,三角通风窗EMN的通风面积最大?并求出这个最大面积 图Kl1-5
3 (2)该企业 2011 年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？ (注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用) 难点突破 16．(12 分)如图 K11－5 所示的是自动通风设施．该设施的下部 ABCD 是等腰梯形，其中 AB＝1 m，高 0.5 m，CD＝2a a＞ 1 2 m．上部 CmD 是个半圆，固定点 E 为 CD 的中点．△EMN 是一个由电脑控制形状变 化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 CD 平行的伸缩横杆． (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x m，试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S(m2 )表示成关于 x 的函数； (2)当 MN 与 AB 之间的距离为多少 m 时，三角通风窗 EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积． 图 K11－5
课时作业(十一) 【基础热身】 1.A[解析]从汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,可比较图象中所反映的速度 速度是由慢到快,再到匀速,最后到减速,所以A选项正确 2.C[解析]设售价在100元基础提高x元,则依题意y=(100+xX100-5x)-80×1000=-5x2+500x +20000,故当x=50元时,y取最大值32500元,此时售价为150元 3.D[解析]方法①用款为4×20+26×5=80+130=210(元), 方法②用款为(4×20+30×5)×92%=2116(元), ∵210<2116,故方法①省钱. 4.B[解析]由表格数据逐个验证,知模拟函数为y=a+b 【能力提升】 5.C[解析]设扣税前应得稿费为x元,则应纳税额y为分段函数,由题意,得 0(x≤800), y=(x-800×X14%(800<x≤4000 1%x(x>4000) 如果稿费为4000元应纳税为448元,现知某人共纳税420元,所以稿费应在800~4000元之间, (x-800)×14%=420,∴x=3800 6.A[解析]由图象可知,曲线U畔比Uz在0~10、0~h与x轴所围成图形面积大,则在o、h时刻 甲车均在乙车前面,选A 7.C[解析]由y≤25x,得(x+200x-150)≥0,x≥150,选C. 8.D「解析]根据图象可以分析出各项指数的特征 9.D[解析令=c,即=e,因为=e”,故=c”,比较知=15,m=15-5=10 10.y=a(1-p%)(0x≤m)[解析]依题意有y=a(1-p%)(0<x≤m) 1l.15元[解析]依题意得,实际乘车费用为:8+1.5×(74-3)=14.6,应付车费15元 12.300[解析]设计算机价格平均每年下降p%, 由题意可得2=(1-p%0) 9年后的价格y=80+兽 8100 13.③(x)=x2-9x2+24x-12(1≤x≤12,x∈Z 「解析]因为fx)=pg,fx)= logan+q是单调函数,f(x)=(x-1)(x-q)2+p中,∫(x)=3x2-(4q+2)x+q2 2+2 +2q令()=0,得x=g,x=23,fx)有两个零点,可以出现两个递增区间和一个递减区间,所以应选几x) (x-1)(x-q}2+p为其成绩模拟函数 由1)=4,3)=6得{2(3-q)2+p=6,解得 故f(x)=x32-9x2+24x-12(1≤x≤12,且x∈Z) 14.[解答](1)设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系为x)和fB(x),由图知M(6098) N500,230),C(500168),MN∥CD,则 ∫(x)=3 x+80(x>60)
4 课时作业(十一) 【基础热身】 1．A [解析] 从汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，可比较图象中所反映的速度， 速度是由慢到快，再到匀速，最后到减速，所以 A 选项正确． 2．C [解析] 设售价在 100 元基础提高 x 元，则依题意 y＝(100＋x)(1 000－5x)－80×1 000＝－5x 2＋500x ＋20 000，故当 x＝50 元时，y 取最大值 32 500 元，此时售价为 150 元． 3．D [解析] 方法①用款为 4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)， 方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)， ∵210＜211.6，故方法①省钱． 4．B [解析] 由表格数据逐个验证，知模拟函数为 y＝a＋b x . 【能力提升】 5．C [解析] 设扣税前应得稿费为 x 元，则应纳税额 y 为分段函数，由题意，得 y＝ 0(x≤800)， (x－800)×14%(800<x≤4 000)， 11%·x(x>4 000)， 如果稿费为 4 000 元应纳税为 448 元，现知某人共纳税 420 元，所以稿费应在 800～4 000 元之间， ∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3 800. 6．A [解析] 由图象可知，曲线 v 甲比 v 乙在 0～t0、0～t1 与 x 轴所围成图形面积大，则在 t0、t1 时刻， 甲车均在乙车前面，选 A. 7．C [解析] 由 y≤25x，得(x＋200)(x－150)≥0，x≥150，选 C. 8．D [解析] 根据图象可以分析出各项指数的特征． 9．D [解析] 令 1 8 a＝ae nt，即1 8 ＝e nt，因为1 2 ＝e 5n，故1 8 ＝e 15n，比较知 t＝15，m＝15－5＝10. 10．y＝a(1－p%)x (0<x≤m) [解析] 依题意有 y＝a(1－p%)x (0<x≤m)． 11．15 元 [解析] 依题意得，实际乘车费用为：8＋1.5×(7.4－3)＝14.6，应付车费 15 元． 12．300 [解析] 设计算机价格平均每年下降 p%， 由题意可得1 3 ＝(1－p%)3， ∴p%＝1－ 1 3 1 3 ， ∴9 年后的价格 y＝8100 1＋ 1 3 1 3 －1 9 ＝8100× 1 3 3＝300(元)． 13．③ f(x)＝x 3－9x 2＋24x－12(1≤x≤12，x∈Z) [解析] 因为 f(x)＝pqx，f(x)＝logax＋q 是单调函数，f(x)＝(x－1)(x－q) 2＋p 中，f′(x)＝3x 2－(4q＋2)x＋q 2 ＋2q.令 f′(x)＝0，得 x＝q，x＝ q＋2 3 ，f(x)有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选 f(x) ＝(x－1)(x－q) 2＋p 为其成绩模拟函数． 由 f(1)＝4，f(3)＝6 得 p＝4， 2(3－q) 2＋p＝6， q>2， 解得 p＝4， q＝4. 故 f(x)＝x 3－9x 2＋24x－12(1≤x≤12，且 x∈Z)． 14．[解答] (1)设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系为 fA(x)和 fB(x)，由图知 M(60,98)， N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD，则 fA(x)＝ 98(0≤x≤60)， 3 10x＋80(x>60)
8(0≤x≤500) f(x)=13 +18(x>500 故通话2小时的费用分别是116元、168元 (2)(+1)-fsm)=1mn+1)+18-/3 +18=03(0m>500), ∴方案B从500分钟以后,每分钟收费0.3元 (3)由图知,当0≤x≤60时,f(x)<(x) 当60<x≤500时,由f(x)>/B(x)得 x+80>168,解得x 3s500 当x>500时,fA(x)>/(x) 综上,通话时间在(,+∞)内,方案B比方案A优惠 15.[解答](1)由题意:3 +1 将t=0,x=1代入得k=2 当年生产x万件时,年生产成本=32x+3=323+1+3 当销售x(万件)时 年销售收入=150%32(3 由题意,生产x万件产品正好销完 ∴年利润=年销售收入一年生产成本一促销费 r2+98+35 即 2(t+1)(≥ 0) r2+98+3 32 (2)∴y= 2(+1) +D50-2yl6=42, 当且仅当1=32,即1=7时,m=42 ∴当促销费投入7万元时,企业年利润最大 【难点突破】 16.[解答()当0≤x2时,由平面几何知识,得2a-1=1 MN-1 M=221+.5N--201+(-1x+ 当x<a+时,S=2^a2 (-分(-B)/=(=(- S=f(x) (2a-1)x2+(a-1)x (2)当0≤x时,S=(x)=-(2a-1x2+(a-1)x+ 422(2a-1)2-2(2a-1)0∵2(2a-1)2 ≤0时,a≤1,此时当x=0时,x)max=
5 fB(x)＝ 168(0≤x≤500)， 3 10x＋18(x>500)， 故通话 2 小时的费用分别是 116 元、168 元． (2)fB(n＋1)－fB(n)＝ 3 10(n＋1)＋18－ 3 10n＋18 ＝0.3(n>500)， ∴方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费 0.3 元． (3)由图知，当 0≤x≤60 时，fA(x)＜fB(x)； 当 60<x≤500 时，由 fA(x)＞fB(x)得 3 10x＋80>168，解得 x> 880 3 ，∴ 880 3 <x≤500. 当 x＞500 时，fA(x)＞fB(x)． 综上，通话时间在 880 3 ，＋∞ 内，方案 B 比方案 A 优惠． 15．[解答] (1)由题意：3－x＝ k t＋1 ， 将 t＝0，x＝1 代入得 k＝2， ∴x＝3－ 2 t＋1 ， 当年生产 x(万件)时，年生产成本＝32x＋3＝323－ 2 t＋1 ＋3， 当销售 x(万件)时， 年销售收入＝150% 32 3－ 2 t＋1 ＋3 ＋ 1 2 t， 由题意，生产 x 万件产品正好销完． ∴年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费， 即 y＝ －t 2＋98t＋35 2(t＋1) (t≥0)． (2)∵y＝ －t 2＋98t＋35 2(t＋1) ＝50－ t＋1 2 ＋ 32 t＋1 ≤50－2 16＝42， 当且仅当t＋1 2 ＝ 32 t＋1 ，即 t＝7 时，ymax＝42， ∴当促销费投入 7 万元时，企业年利润最大． 【难点突破】 16．[解答] (1)当 0≤x< 1 2 时，由平面几何知识，得MN－1 2a－1 ＝ x 1 2 ， ∴MN＝2(2a－1)x＋1，S＝ 1 2 MN· 1 2 －x ＝－(2a－1)x 2＋(a－1)x＋ 1 4 ， 当 1 2 <x<a＋ 1 2 时，S＝ 1 2 ·2 a 2－ x－ 1 2 2· x－ 1 2 ＝ a 2－ x－ 1 2 2· x－ 1 2 ， ∴S＝f(x) ＝ －(2a－1)x 2＋(a－1)x＋ 1 4 ，x∈ 0， 1 2 ， a 2－ x－ 1 2 2· x－ 1 2 ，x∈ 1 2 ，a＋ 1 2 . (2)①当 0≤x< 1 2 时，S＝f(x)＝－(2a－1)x 2＋(a－1)x＋ 1 4 ， ∵a> 1 2 ，∴ a－1 2(2a－1) － 1 2 ＝ －a 2(2a－1) <0，∴ a－1 2(2a－1) < 1 2 . 当 a－1 2(2a－1) ≤0 时，1 2 <a≤1，此时当 x＝0 时，f(x)max＝f(0)＝ 1 4