函数模型及应用 基础知识导航 重温教材扫清盲点 1.几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数 模型 f(x)=ax+b(a、b为常数,a≠0) 反比例函数模型 fx)=+b(k,b为常数且k≠0) 二次函数模型 fx)=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0) 指数函数模型 (a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) fx)=blogax+ 对数函数模型 (a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 幂函数模型 fx)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 2三种基本初等函数模型的性质 函数 y=a(a>1) =logar(a>1) y=r(n>0 性质 在(0,+∞) 单调递增 单调递增 单调递增 上的增减性 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平衡 图象的随x的增大,逐渐表随x的增大,逐渐表随n值变化而各有不 变化 现为与y轴平行现为与x轴平行 值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有 logar<x<a 3判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=2x的函数值在(0,+∞)上一定比y=x2的函数值大.(×) (2)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=a(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=x(a>0)的增 长速度.(√) (3)“指数爆炸”是指数型函数y=ab+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比
函数模型及应用 1．几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数 模型 f(x)＝ax＋b(a、b 为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝ k x ＋b(k，b 为常数且 k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c (a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0) 2.三种基本初等函数模型的性质 函数 性质 y＝a x (a＞1) y＝logax(a＞1) y＝x n (n＞0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平衡 图象的 变化 随 x 的增大，逐渐表 现为与 y 轴平行 随 x 的增大，逐渐表 现为与 x 轴平行 随n值变化而各有不 同 值的比较 存在一个 x0，当 x＞x0 时，有 logax＜x n＜a x 3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝2 x 的函数值在(0，＋∞)上一定比 y＝x 2 的函数值大．(×) (2)在(0，＋∞)上，随着 x 的增大，y＝a x (a＞1)的增长速度会超过并远远大于 y＝x α (α＞0)的增 长速度．(√) (3)“指数爆炸”是指数型函数 y＝a·b x＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比
喻.(×) (4)幂函数增长比直线增长更快.(×) (5)指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.(√) (6)不存在x0,使ax0<< logan.(×) (7)美缘公司2010年新上市的一种化妆品,由于脱销,在2011年曾提价25%2014年想要恢 复成原价,则应降价25%(×) (8)某种商品进价为每件100元,按进价增加25%出售,后因库存积压降阶,若按九折出售 则每件还能获利.(√) (9)x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有hx)<八x)<g(x),(√) (10)若函数反映的是实际问题,其定义域一定为[0,+∞),.(×) 考点典例领航 核心考点深化突破 考点一一次函数模型与二次函数模型 命题点目标函数为一次函数或二次函数 [例1]为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采 用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400 吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨之间的函数关系可近似地表示为:y= 200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元.则该单 位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能 使该单位不亏损? 解:设该单位每月获利为S, 则S=100x-y=100x-(x2-200x+80000 2x2+300x-80000=-2(x-3002-35000, 因为400≤x≤600,所以当x=400时,S有最大值-40000 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40000元,才能不亏损. [方法引航]实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等),可根据已知条件确定二次 函数模型,结合二次函数的图象、单调性、零点解决,解题时一定注意函数的定义域. 跟踪巡航 强化训练提升考能 某产品的总成本万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈
喻．(×) (4)幂函数增长比直线增长更快．(×) (5)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(√) (6)不存在 x0，使 ax0＜x n 0＜logax0.(×) (7)美缘公司 2010 年新上市的一种化妆品，由于脱销，在 2011 年曾提价 25%,2014 年想要恢 复成原价，则应降价 25%.(×) (8)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 25%出售，后因库存积压降阶，若按九折出售， 则每件还能获利．(√) (9)f(x)＝x 2，g(x)＝2 x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，恒有 h(x)＜f(x)＜g(x)．(√) (10)若函数反映的是实际问题，其定义域一定为[0，＋∞)．(×) 考点一 一次函数模型与二次函数模型 命题点 目标函数为一次函数或二次函数 [例 1] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采 用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝ 1 2 x 2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为 100 元．则该单 位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能 使该单位不亏损？ 解：设该单位每月获利为 S， 则 S＝100x－y＝100x－ 200 80000) 2 1 ( 2 x − x + ＝－ 1 2 x 2＋300x－80 000＝－ 1 2 (x－300)2－35 000， 因为 400≤x≤600，所以当 x＝400 时，S 有最大值－40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能不亏损． [方法引航] 实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次 函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题时一定注意函数的定义域. 某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y＝3 000＋20x－0.1x 2 (0＜x＜240，x∈
N),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)最低产量是 A.100台 B.120台 C.150台 解析:选C设利润为∫x)万元,则 f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2) =0.1x2+5x-30000<x<240,x∈N).令∫x)≥0,得x≥150, ∴生产者不亏本时的最低产量是150台 考点二分段函数模型 命题点目标函数为分段函数模型 [例2]某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用 水超过4吨时,超过部分每吨300元,某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月 用水量分别为5x3x(吨) (1)求y关于x的函数 (2)若甲、乙两户该月共交水费264元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费 解:(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=1.85x+3x) 144x 当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨时,即3x≤4,且5x>4时,y=4×1.8+3x×1.8 +3(5x-4)=20.4x-48 当乙的用水量超过4吨,即3x>4时, y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)=24x-96 144x 0sx≤4 所以y=204x-48,2<x 24x-9.6,x> (2)由于y=(x)在各段区间上均单调递增 当x∈[0,-]时,y≤f()<264;当x∈(,-]时,y≤∫()<26.4 当x∈(,+∞)时,令24x-9.6=264,解得x=1.5所以甲户用水量为5x=5×1.5=7.5吨; 付费S1=4×18+3.5×3=1770(元)
N* )，若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 ( ) A．100 台 B．120 台 C．150 台 D．180 台 解析：选 C.设利润为 f(x)万元，则 f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x 2 ) ＝0.1x 2＋5x－3 000(0＜x＜240，x∈N* )．令 f(x)≥0，得 x≥150， ∴生产者不亏本时的最低产量是 150 台． 考点二 分段函数模型 命题点 目标函数为分段函数模型 [例 2] 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，每吨为 1.80 元，当用 水超过 4 吨时，超过部分每吨 3.00 元．某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙两户该月 用水量分别为 5x,3x(吨)． (1)求 y 关于 x 的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲的用水量不超过 4 吨时，即 5x≤4，乙的用水量也不超过 4 吨，y＝1.8(5x＋3x)＝ 14.4x； 当甲的用水量超过 4 吨，乙的用水量不超过 4 吨时，即 3x≤4，且 5x＞4 时，y＝4×1.8＋3x×1.8 ＋3(5x－4)＝20.4x－4.8. 当乙的用水量超过 4 吨，即 3x＞4 时， y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6. 所以 y＝ 14.4x 0≤x≤ 4 5 ， 20.4x－4.8， 4 5 ＜x≤ 4 3 ， 24x－9.6， x＞ 4 3 . (2)由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增； 当 x∈ ] 5 4 [0, 时，y≤f ) 5 4 ( ＜26.4；当 x∈ ] 3 4 , 5 4 ( 时，y≤ ) 3 4 f ( ＜26.4； 当 x∈ , ) 3 4 ( + 时，令 24x－9.6＝26.4，解得 x＝1.5.所以甲户用水量为 5x＝5×1.5＝7.5 吨； 付费 S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x=45吨,付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元) [方法引航](1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个 问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是 端点值 (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理不重不漏. (3)分段函数的最大值(最小值)是各段的最大值(最小值)的最大者(最小者) 跟踪巡航 强化训练提升考能 国庆节期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30人或30人以下,飞机票每张收 费900元;若每团人数多于30人,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到 规定人数75人为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元 (1)写出飞机票的价格关于人数的函数 (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润? 解:(1)设旅游团人数为x人,由题得0<x≤75,飞机票价格为y元, 则y2190010-30,30<≤3,即1=(90,0<x≤30, 900,0<x≤30, 12 <x≤75 (2)设旅行社获利S元,则S= 900-1500,0<x≤30, x(1200-10x)-15000,30<x≤75, 即S={x-1500,0<x≤30, 10(x-60)2+21000,30<x≤75 因为S=900x-15000在区间(030]上为单调增函数, 故当x=30时,S取最大值12000元, 又S=-10(x-60}2+21000在区间(30,75]上,当x=60时,取得最大值21000 故每团人数为60人时,旅行社可获得最大利润 考点三指数函数模型与对数函数模型 命题点目标函数是指数函数型或对数函数型 [例3](1)(2017-四川德阳一诊)将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中,tmin后甲桶中剩余的 水量符合指数衰减曲线y=ce"假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过mmin甲桶中 的水只有L,则m的值为() A.5 解析:∵5min后甲桶和乙桶的水量相等
乙户用水量为 3x＝4.5 吨，付费 S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)． [方法引航] (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个 问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是 端点值. (2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏. (3)分段函数的最大值(最小值)是各段的最大值(最小值)的最大者(最小者). 国庆节期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 人或 30 人以下，飞机票每张收 费 900 元；若每团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到 规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元． (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝ 900，0＜x≤30， 900－10(x－30)，30＜x≤75， 即 y＝ 900，0＜x≤30， 1 200－10x，30＜x≤75 . (2)设旅行社获利 S 元，则 S＝ 900x－15 000，0＜x≤30， x(1 200－10x)－15 000，30＜x≤75， 即 S＝ 900x－15 000，0＜x≤30， －10(x－60) 2＋21 000，30＜x≤75. 因为 S＝900x－15 000 在区间(0,30]上为单调增函数， 故当 x＝30 时，S 取最大值 12 000 元， 又 S＝－10(x－60)2＋21 000 在区间(30,75]上，当 x＝60 时，取得最大值 21 000. 故每团人数为 60 人时，旅行社可获得最大利润． 考点三 指数函数模型与对数函数模型 命题点 目标函数是指数函数型或对数函数型 [例 3] (1)(2017·四川德阳一诊)将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的 水量符合指数衰减曲线 y＝ae nt .假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min 甲桶中 的水只有a 4 L，则 m 的值为( ) A．5 B．8 C．9 D．10 解析：∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等
函数y=/=满足5)=e0=2,可得n=jh,0 因此,设kmin后甲桶中的水只有L时 =a(2)=4,即(2)=4,…k=10,由题可知m=k-5=5,故选A 答案:A (2(2017广东广州模拟)在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表: [x05009920398 -0990010.98200 则对x,y最适合的拟合函数是() A.y=2 B D. y=log2x 解析:根据x=0.50,y=-0.99,代入各选项计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代 入各选项计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=logx,可知满足题意.故选D. 答案:D [方法引航]此类增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+p)鬥(其中N是基 础数,p为增长率,x为时间)和幂函数模型y=a(1+x)y(其中a为基础数,x为增长率,n为 时间)的形式解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解. 跟踪巡航强化训练提升考能 (2017北京房山期末)某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒,经过x小时后, 病毒个数y与时间x(小时)的函数关系式为 经过5小时,1个病毒能分裂成 个 解析:设原有1个病毒, 经过1个30分钟有2=21个病毒; 经过2个30分钟有2×2=4=22个病毒 经过3个30分钟有4×2=8=23个病毒; 经过个30分钟有23=4个病毒, ∴病毒个数y与时间x(小时)的函数关系式为y=4x ∴经过5小时,1个病毒能分裂成45=1024(个)
∴函数 y＝f(t)＝ae nt 满足 f(5)＝ae 5n＝ 1 2 a，可得 n＝ 1 5 ln1 2 ，∴f(t)＝a· ， 因此，设 k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时， f(k)＝ 5 ) 2 1 ( k a ＝ 1 4 a，即 5 ) 2 1 ( k ＝ 1 4 ，∴k＝10，由题可知 m＝k－5＝5，故选 A. 答案：A (2)(2017·广东广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对 x，y 最适合的拟合函数是( ) A．y＝2x B．y＝x 2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：根据 x＝0.50，y＝－0.99，代入各选项计算，可以排除 A；根据 x＝2.01，y＝0.98，代 入各选项计算，可以排除 B，C；将各数据代入函数 y＝log2x，可知满足题意．故选 D. 答案：D [方法引航] 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型 y＝N(1＋p) x (其中 N 是基 础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型 y＝a(1＋x) n (其中 a 为基础数，x 为增长率，n 为 时间)的形式.解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解. (2017·北京房山期末)某种病毒每经过 30 分钟由 1 个病毒可分裂成 2 个病毒，经过 x 小时后， 病毒个数 y 与时间 x(小时)的函数关系式为________，经过 5 小时，1 个病毒能分裂成________ 个． 解析：设原有 1 个病毒， 经过 1 个 30 分钟有 2＝2 1 个病毒； 经过 2 个 30 分钟有 2×2＝4＝2 2 个病毒； 经过 3 个 30 分钟有 4×2＝8＝2 3 个病毒； …… 经过60x 30 个 30 分钟有 2 2x＝4 x 个病毒， ∴病毒个数 y 与时间 x(小时)的函数关系式为 y＝4 x . ∴经过 5 小时，1 个病毒能分裂成 4 5＝1 024(个)．