《船舶流体力学》课程教学资源（讲稿）09 第3章 流体动力学 - 3.2 雷诺输运定理

3.2雷诺输运定理Control volume at timet+t雷诺输运定理(ReynoldsTransportTheorem(CV remains fixed in time)System (material volume)任何一个物理量G都满足下列物质体积与控and control volumeat timet(shaded region)制体积的关系式：System at time t+At(hatchedregion)adGdyGdGV·ndA+atJJJMJCJCSdtnet out-flux ofthelocal rate ofchange of therate of change of theVpropertyacrossthepropertywithinthefixedpropertywithinentirecontrolsurfacethematerial volumecontrolvolumethathappenstocoincidewiththematerialvolumeatthat instant(1)(2)p=densityof fluidG=anintensivepropertyoffluidInflowduringrMV=material volumethathappensto coincide with CVattimetCV=controlvolume(fixed inspace)OutflowduringAtCS=controlsurfaceAttimet:Sys=CVn=unitoutwardnormaltoCsAttimet+△t:Sys=CV-I+II

3.2 雷诺输运定理 雷诺输运定理(Reynolds Transport Theorem) rate of change of the local rate of change of the property within property within the fixed the material volume control volume that happens to coincide with the material volume MV CV d dV dV dt t G G       net out-flux of the property across the entire control surface at that instant CS   G dA  V n   materi dens al v ity of f olume th luid an intensi at happens to ve property o coincide f with at time fluid MV CV t G     control volume (fixed in space) control surface unit outward normal to CV CS CS   n  任何一个物理量G都满足下列物质体积与控 制体积的关系式：

3.2雷诺输运定理对于物质体，在dt后为：OG[[ G(x,t) dvJf G(x,t+dt)dv = Jf1+G(x,t)dt+0atMV(t+dt)MV(t+dr)1-dt5 ()= J()+ Jj()= J()+ ()V.ndsdt在dt内物质体的变化为：MVMV(t+dt)CS4因此有：删去二阶小量aG([G(x,t)dvata0 (x,1)% i av + V-ndSdtdtvE1dmdA-dV + ([G(x,t)V.nds[l[G(x,t)dV +datControlCSvolume(CV)由上式可以得到RTT：Controlsurface(CS)av+G.ndsGdVIGdv-GdvOfcS

3.2 雷诺输运定理     2 () () , , , ()                         MV MV t dt MV t dt t dt G G t dV G t dt dV G t dt O dt dV t xx x           MV t d ( )t M V V CV CS dS dt          V n           ( ) , , , , , ,                                                     MV MV t dt t dt CV CS CV CV CS G G t dV G t dt dV t G G G t dt dV G t dt dSdt t t G G t dV dV G t dS dt t x x x x Vn x x Vn MV MV MV CV CS t dt d G GdV GdV GdV dt dV G dS dt t                             V n 对于物质体，在dt后为： 在dt内物质体的变化为： 因此有： 由上式可以得到RTT： 删去二阶小量

3.2雷诺输运定理DEulerianLagrangianDtdescriptiondescriptionControlSystemRTTvolumeanalysisanalysis

3.2 雷诺输运定理

3.3连续方程连续方程（ContinuityEquation）：也称为质量守恒方程(ConservationofMass)在RTT方程中，如果物理量为质量，即G=P，可以得到 pdyL.H.S.(mass in MV)= 02dt(由MV的定义：在MV中总是包含相同的流体。)dIlpd+ /lc.pV.nd AR.H.S.atdp[S]d+ (pV)dCVatbyGauss theoremCVisstationary

3.3 连续方程 连续方程(Continuity Equation )：也称为质量守恒方程 (Conservation of Mass ) 在RTT方程中，如果物理量为质量，即 ，可以得到： L.H.S. mass in 0   ( MV ) MV MV d d dV MV dt dt     由 的定义：在 中总是包含相同的流体。   by Gauss theorem is stationary R.H.S. = CV C C V CV C S V dV dA t dV dV t                   V n  V G  