定理3. (可微性)若f(x,)及其偏导数 fx(x,J)都在矩形域 R=[a,b]×[α,β]上连续,则p(x)=「f(x,y)dy在[α,b]上可微,且QB[° f(x,y)dy=[P fx(x,y)dyp(x) =dxJa证:令g(x)=[ fx(x,y)dy, 则g(x)是[a,b]上的连续函数,故当xE[α,b] 时,BXJ'lfe fr(x,y)dy ]dxg(x)dx=CTe (xy)dx]dy0000上页下页返回结束自录
目录 上页 下页 返回 结束 定理3. (可微性) f (x, y) f (x, y) 若 及其偏导数 x 都在 矩形域 R = [a,b][,]上连续, = 则(x) f (x, y)d y 在[a,b]上可微,且 = f x y y x x ( , )d d d ( ) = f x y y x ( , )d 证: 令 ( ) ( , )d , = g x f x y y x 则g(x)是[a,b]上的连续 函数, 故当x[a,b]时, x a g(x)d x f x y y x x x a ( , )d d = f x y x y x a x ( , )d d =
4g(x)dx =.. = ["[f(x, y) - f(a, y) Jd ya= p(x)-(a)因上式左边的变上限积分可导,因此右边β(x)可微，且有p(x) = g(x)= /~ fx(x, y)d y此定理说明，被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时，求导与求积运算是可以交换顺序的0000自目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 = f (x, y) − f (a, y) d y =(x) −(a) 因上式左边的变上限积分可导, 因此右边 (x)可微， 且有 (x) = g(x) = x a g(x)d x = f x y y x ( , )d 此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时, 求导与求积运算是可以交换顺序的