四、模糊集合的模糊程度模糊熵A的模糊E（A），在单位超立方体In中从O到1，其中顶点的熵为0，表明不模糊，中点的为1，是最大。从顶点到中点，逐渐增大。简单地从几何图形上来考虑可以得到的比例形式：X=(1 1)(2)=(01)3I'(A, Anear)DanearE(A)bI'(A, Afar)X2(=(10)8=(00)-m+177372--1rear = (0,1), A far = (1, 0), a =E(A)1712341234
四、模糊集合的模糊程度——模糊熵 A的模糊熵E(A)，在单位超立方体I n中从0到1，其中顶点的熵为 0，表明不模糊，中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐 渐增大。简单地从几何图形上来考虑可以得到熵的比例形式： 1 1 ( , ) ( ) ( , ) near far a l A A E A b l A A = = 1 3 1 1 7 2 3 17 7 ( , ), (0,1), (1,0), , , ( ) 3 4 3 4 12 3 4 12 17 A A A a b E A = = = = + = = + = = near far
四、模糊集合的模糊程度模糊熵是一个一般性的概念，它度量了一个系统或一段信息的不确定性模糊熵描述了一个模糊集的模糊性程度【 一般的定义[1] :（1）分明集是不模糊的，则分明集的模糊炳为0：（2）[1/21是隶属性最难确认的模糊集，「1/21的模糊性应最大（3）模糊集A与A°距[1/21的1远近程度是相同的，则要求A与A°的模糊程度一样（4）模糊集A的模糊性应具有单调变化的性质，即A越接近[1/21.A的模糊性越大：A越远离[1/21.A的模糊性越小
熵是一个一般性的概念，它度量了一个系统或 一段信息的不确定性。 模糊熵描述了一个模糊集的模糊性程度。 一般的定义[1]： （1）分明集是不模糊的，则分明集的模糊熵为0； （2）[1/2]是隶属性最难确认的模糊集，[1/2]的模糊 性应最大 （3）模糊集A与 距[1/2]的1远近程度是相同的，则 要求A与 的模糊程度一样 （4）模糊集A的模糊性应具有单调变化的性质，即A 越接近[1/2],A的模糊性越大； A越远离[1/2],A的模 糊性越小 。 C A C A 四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
四、模糊集合的模糊程度模糊熵(x2) = (0 1)X=(1 1)模糊炳定理：AU34M(AnA)E(A)M(AUA)SANAAS1CAA2=(00)()= (10)23-3X模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西)方逻辑的终止。（M(AA)=0, M(AUA)=n, E(A)=0
模糊熵定理： ( ) ( ) ( ) c c M A A E A M A A = 模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各 自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西 方逻辑”的终止。（ ） ( ) 0, ( ) , ( ) 0 c c M A A M A A n E A = = = 四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
模糊熵四、模糊集合的模糊程度另外的一种定义（类似于信息论中炳的定义）E(A) = -k Z[A(x,)ln A(x,) +(1- A(x,) ln(1- A(x,)i=1k>0是常数很多文章是用这个定义来求模糊炳
= = − + − − n i i i i i E A k A x A x A x A x 1 ( ) [ ( )ln ( ) (1 ( ))ln(1 ( ))] k>0是常数 很多文章是用这个定义来求模糊熵 另外的一种定义（类似于信息论中熵的定义） 四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
五、模糊集合间的包含关系包含度定理主导隶属度函数关系（dominatedmembership function relationship):AcB if and onlyif m,(x)≤mg(x) for all x如果A=(.3 0.7)和B=（.4 .7.9），那么A就是B的一个模糊子集，但B不是A的模糊子集。显然，这种模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的是二值定义下的子集性（Zadehs1965）
五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 主导隶属度函数关系(dominated membership function relationship)： ( ) ( ) A B if and only if m x m x for all x A B 如果A=(.3 0 .7)和B=(.4 .7 .9)，那么A就是 B的一个模糊子集，但B不是A的模糊子集。显然， 这种模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的, 是二值定义下的子集性(Zadeh’s1965)