第二部分运算一一代数第三章有理数与实数
第二部分 运算——代数 第三章 有理数与实数
第三章有理数与实数·有理数与实数教学中一些问题1、在初中阶段，有理数重要？还是无理数重要？-理由2、为什么学生学习负数运算经常出现错误？如何改进？3、为什么（--1）×（--1）=1 ？4、你会求“85开35次方的根”吗？如何教根号2？5、如何认识实数指数幂？6、历史上先由对数后有指数？教学上先定义指数再引入对数？为什么？7、从有理数拓展到实数关键思想是什么？8、结合高中数学需要用到哪些实数性质？
第三章 有理数与实数 • 有理数与实数教学中一些问题 • 1、在初中阶段，有理数重要？还是无理数重要？-理由 • 2、为什么学生学习负数运算经常出现错误？如何改进？ • 3、为什么（-1）×（-1）= 1 ？ • 4、你会求“85开35次方的根”吗？如何教根号2？ • 5、如何认识实数指数幂？ • 6、历史上先由对数后有指数？教学上先定义指数再引入 对数？为什么？ • 7、从有理数拓展到实数关键思想是什么？ • 8、结合高中数学需要用到哪些实数性质？
第三章 有理数与实数·有理数与实数的功能：万物皆数一一从自然数到有理数从自然数到分数：分数的意义分数的表示：小数与分数分数的性质一一等价类、序性质分数的运算从自然数到负数：负数的意义负数的表示负数的运算整数的运算一一群、环有理数运算一一域有理数序性质
第三章 有理数与实数 • 有理数与实数的功能： • 万物皆数——从自然数到有理数 • 从自然数到分数： • 分数的意义 • 分数的表示：小数与分数 • 分数的性质——等价类、序性质 • 分数的运算 • 从自然数到负数： • 负数的意义 • 负数的表示 • 负数的运算 • 整数的运算——群、环 • 有理数运算——域 • 有理数序性质 •
第三章 有理数与实数·有理数与实数的功能实数理论（1）：从有理数到实数的不同方式实数概念认识一从无限循环小数到无限不循环小数（序）一有上界有理数集合等价类（序--确界定义）一一单调递增有理数列的等价类（序）一戴德金分割的等价类（序）一有理哥西数列的等价类（完备）一一无穷有界有理数集合的聚点（完备）实数运算实数中几个问题一一一会计算85开34次方吗？如何教根号2？（教学）一整数指数幂一分数指数幂--实数指数幂--指数函数--指数函数性质---对数函数一代数数与超越数一一圆周率与自然对数
第三章 有理数与实数 • 有理数与实数的功能： • 实数理论（1）：从有理数到实数 的不同方式 • 实数概念认识 • ——从无限循环小数到无限不循环小数（序） • ——有上界有理数集合等价类（序-确界定义） • ——单调递增有理数列的等价类（序） • ——戴德金分割的等价类（序） • ——有理哥西数列的等价类（完备） • ——无穷有界有理数集合的聚点（完备） • 实数运算 • 实数中几个问题—— • ——会计算85开34次方吗？如何教根号2？（教学） • ——整数指数幂—分数指数幂-实数指数幂-指数函数-指数函数性质-对数函数 • ——代数数与超越数 • ——圆周率与自然对数
第三章 有理数与实数·有理数与实数的功能：实数理论（2）：实数结构（代数、序、度量）实数代数结构一一实数运算一有理数域扩充一一实数域实数序结构一一稠密性一一界与确界（连续性）实数度量（拓扑）结构一距离：反身性、对称性、三角不等式一极限与连续一实数是研究函数基础实数基数性质一一自然数、有理数、实数一一连续统假设一哲学思考实数性质一致性
第三章 有理数与实数 • 有理数与实数的功能： • 实数理论（2）：实数结构（代数、序、度量） • 实数代数结构 • ——实数运算 • ——有理数域扩充 • ——实数域 • 实数序结构 • ——稠密性 • ——界与确界（连续性） • 实数度量（拓扑）结构 • ——距离：反身性、对称性、三角不等式 • ——极限与连续 • ——实数是研究函数基础 • 实数基数性质 • ——自然数、有理数、实数 • ——连续统假设—哲学思考 • 实数性质一致性