S2数集·确界原理确界原理本质上体现了实数的完备性，是本章学习的重点与难点。一、有界集二、 确界三、确界的存在性定理四、非正常确界前页返回后页
前页 后页 返回 §2 数集 ·确界原理 一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界 确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点. 返回
记号与术语U(a;)=(x/ /x-al<8}: 点a的s邻域U(a;8)={x/ 0</x-a|<8}:点a的8空心邻域U.(a;)=(x/0≤x-a<8}：点a的右邻域U(a;8)=(x|0≤a-x<S)：点a的s左邻域U(00; M)=(x/ / x/>M): 00 的 M邻域U(+o0;M)=(x/ x> M}: +0 的 M邻域U(-00;M)=(x x<M): -0 的 M邻域maxS：数集S的最大值minS：数集s的最小值前页后页返回
前页 后页 返回 记号与术语 U a x x a a ( ; ) { | | | }: = − 点 的 邻域 U a x x a a ( ; ) { | 0 | | }: = − 点 的 空心邻域 U a x x a a ( ; ) { | 0 }: + = − 点 的 右邻域 U a x a x a ( ; ) { | 0 }: − = − 点 的 左邻域 U M x x M M ( ; ) { | | | }: = 的 邻域 U M x x M M ( ; ) { | }: + = + 的 邻域 U M x x M M ( ; ) { | }: − = − 的 邻域 max : S S 数集 的最大值 min : S S 数集 的最小值
一、有界集定义1设ScR,S+0.(I)若EMeR,使得VxES,x≤M,则称M为S的一个上界,称S为有上界的数集(2)若3LER,使得VxES,x≥L,则称L为S的一个下界，称S为有下界的数集(3）若S既有上界又有下界，则称S为有界集其充要条件为:M>0,使VxES,有Ix≤M后页返回前页
前页 后页 返回 一、有界集 定义1 设S S R, . (1) R, , , 若 M x S x M M 使得 则称 为 S S 的一个上界, . 称 为有上界的数集 (2) R, , , 若 L x S x L L 使得 则称 为 S S 的一个下界 称 为有下界的数集 , . (3) , 若 既有上界又有下界 S 则称S 为有界集. 其充要条件为: 0, , | | . M x S x M 使 有
(1'）若S不是有上界的数集，则称 S无上界，即VMeR,3 x,ES,使得x,>M(2'）若S不是有下界的数集，则称S无下界，即VLeR, 日x, E S,使得x,<L(3'）若 S不是有界的数集，则称S无界集，即VM>0, 日 x,ES, 使得Ix,I>M后页返回前页
前页 后页 返回 (1 ) , , 若 不是有上界的数集 则称 无上界 即 S S M x S x M R, , . 0 0 使得 (2 ) , , 若 不是有下界的数集 则称 无下界 即 S S L x S x L R, , . 0 0 使得 (3 ) , , 若 不是有界的数集 则称 无界集 即 S S 0 0 M x S x M 0, , | | . 使得
例1证明数集S={2"|neN}无上界，有下界证 取L=1,则Vx=2"eS,x≥L,故S有下界VMeR,若M<1,取x,=2'>M;若M≥1,取x,=2(M+l>[MI+1>M, 因此S无上界.n-例2证明数集S=neN有界.2n3n-证 VneN.L2n32n2因此S有界后页返回前页
前页 后页 返回 1 = M M x M M R, 1, 2 ; 1, 若 取 0 若 [ ] 1 0 2 [ ] 1 , M x M M + 取 = + 因此 S 无上界. 证 x 2 S, x L, n 取 L = 1, 则 = 故 S 有下界. {2 | N } , . n 例 证明数集 无上界 有下界 S n = + 1 例2 2 3 + 1 N . 2 n S n n − = 证明数集 有界 证 2 2 + 3 3 3 1 1 1 1 N , 1, 2 2 2 2 2 n n n n n n − + + = 因此 S 有界