实分析精选50题 则:A,B皆为 Lebesgue可测集 证明 由题意,存在A的等测包H1,H1→A;存在B的等测包H2,H2→B 且m(H1)=m(A),m(H2)=m'(B),HUH2→AUB.所以: m(H1∪H2)≥m(AUB)=m(H1)+m(H2) 由测度的性质:m(H1UH2)≤m(H1)+m(H2),所以: m(H, UH2)=m(H,)+m(H2)=m(AUB) 故H1UH2是AUB的等测包,且m(H1∩H2)=0 由外测度的性质:m(H\A)≤m(H1UH2)\(4UB)+m(H1∩H2)4)=0 所以m(H1\A)=0.故H\A可测,所以A可测.同理可得B可测 证毕
实分析精选 50 题 16 则: A B, 皆为 Lebesgue可测集. 证明: 由题意,存在 A的等测包 H1 , H A 1 ⊃ ;存在 B 的等测包 H2 , H B 2 ⊃ ; 且 * * 1 2 mH m A mH m B ( ) ( ), ( ) ( ) = = ， H H AB 1 2 ∪ ∪ ⊃ .所以： 12 1 2 mH H mA B mH mH ( ) ( ) () () ∪ ∪ ≥ =+ 由测度的性质: 12 1 2 mH H mH mH ( ) () () ∪ ≤ + ，所以： 12 1 2 mH H mH mH mA B ( ) () () ( ) ∪ ∪ =+ = ． 故 H H 1 2 ∪ 是 A B ∪ 的等测包,且 1 2 mH H ( )0 ∩ = ． 由外测度的性质: ( ) ( ) ( ) * * 1 12 12 mH A mH H A B m H H A ( \) ( \ ) ( \)0 ≤ += ∪∪ ∩ 所以 1 mH A ( \) 0 = ．故 1 H A\ 可测，所以 A可测．同理可得 B 可测． 证毕
实分析精选50题 第二章可测函数 16.设{/4(k)是E上可测函数列(其中E是R上的可测集)且: lim fr(x)=f(x),aex∈E 若有E上非负可积函数g(x),使(x)≤8(x)(k=12,…)试证明对任给E>0 有mUkE(-(x0>=0 证明:因为limf(x)=f(x),aex∈E,对于任意的E>0,令: E()={x∈E1-f>e;} 显然∩UE()中的点一定不是收敛点,从而m∩UE(s)=0 j=l k=j j=l k=j 考虑若x∈{x∈E,∪E(},x必然属于{x∈E,g(x)25},所以: {x∈E,∪E()c{x∈Ek(x) 因为9(x)可积,所以m({x∈E(x)≥5})<∞, 根据递减集合列测度定理,1mUk∈E(-(o0>e=0.证毕 17.设f(x)f4(x)k=12.…)是ECR(m(E)<∞)上正实值可测函数,且有 limf i(x)=f(x),x∈E.试证明对任给δ>0存在AcE以及k,m(A)<δ使 得当k>k时,∫(x)≤f(x)+6,x∈E\A 证明: 对任给6>0,令E={x∈E,(x)>f(x)+}·则考虑∩UE 因为m(x)=f(x)x∈E,所以∩UE=②,否则,将存在一些点,使 在这些点上(x)≠/(x所以U门E=E,于是mU∩E)=mE) =1k= =1k= 17
实分析精选 50 题 17 第二章 可测函数 16.设{ } f (k) k 是 E 上可测函数列（其中 E 是 n R 上的可测集）且： lim ( ) ( ), . . k k f x f x aex E →∞ = ∈ ． 若有 E 上非负可积函数 g(x) ，使 f (x) ≤ g(x) (k = 1,2,") k ．试证明对任给ε > 0, 有lim { } : ( ) ( ) = 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ − > ∞ ≥ →∞ ∪ k j k j m x E f x f x ε ． 证明：因为lim ( ) ( ), . . k k f x f x aex E →∞ = ∈ ，对于任意的ε > 0 ，令： () { , } E x Ef f k k ε =∈ −> ε 显然 1 ( ) k j kj E ε ∞ ∞ = = ∩∪ 中的点一定不是收敛点．从而 1 ( ( )) 0 k j kj m E ε ∞ ∞ = = ∩∪ = ． 考虑若 1 { , ( )} k k x xE E ε ∞ = ∈ ∈ ∪ ， x 必然属于{ , () }2 x E gx ε ∈ ≥ ，所以： 1 { , ( )} k k xE E ε ∞ = ∈ ∪ ⊂ { , () }2 x E gx ε ∈ ≥ ． 因为 g x( ) 可积，所以 ({ , ( ) }) 2 m x E gx ε ∈ ≥ <∞ ， 根据递减集合列测度定理，lim { } : ( ) ( ) = 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ − > ∞ ≥ →∞ ∪ k j k j m x E f x f x ε ． 证毕 17. 设 f (x), f (x)(k = 1,2,") k 是 ( ( ) ) 1 E ⊂ R m E < ∞ 上正实值可测函数，且有 f k x f x x E k = ∈ →∞ lim ( ) ( ), ．试证明对任给δ > 0存在 A ⊂ E 以及 k0 ,m(A) < δ 使 得当 0 k k > 时， () () , \ k f x fx x E A ≤ +∈ δ ． 证明： 对任给δ > 0 ,令 { , () () } E x Ef x fx k k =∈ > +δ ．则考虑 1 k j kj E ∞ ∞ = = ∩∪ ： 因为 f k x f x x E k = ∈ →∞ lim ( ) ( ), ，所以 1 k j kj E ∞ ∞ = = ∩∪ =∅．否则，将存在一些点，使 在这些点上lim ( ) ( ), k k f x fx →∞ ≠ 所以 1 c k j kj E E ∞ ∞ = = ∪∩ = ．于是 1 ( ) () c k j kj m E mE ∞ ∞ = = ∪∩ = ．
实分析精选50题 因为m(E)<∞,所以对于δ>0,存在k,使得m(E-U∩E)<o 则令A=E-U∩ 在E-A=U∩E上,k>k时,f(x)≤f(x)+6 证毕 18.设(X,R,)是测度空间,E∈R,{n}是E上可测函数序列,并且厂n→f(有 限函数),证明:必存在子序列{},使得v6>0,彐EE,H(E-E)<6, 且{}在E。上一致收敛于f 证明 (x∈E:|-f>})→0(n→∞) 取E=,存在n,使得川{x∈E 按照这种方法取得{},其中n<nn 易有(E二)所以 lim E:m, f 于是Y60,取充分大使得A4U体x∈E= JK< Jk 令E=∩∩1eE 下面证明在E上{}一致收敛于∫ 事实上,E1(认“,对于一切x∈E vE>0,只要习,使得,<6,即v≥时,<E,有-八<E
实分析精选 50 题 18 因为m E( ) < ∞ ，所以对于δ > 0，存在 0 k ，使得 0 1 ( ) k c k j kj mE E δ ∞ = = −∪∩ < ． 则令 0 1 k c k j kj AE E ∞ = = = −∪∩ ， 在 0 1 k c k j kj EA E ∞ = = − =∪∩ 上， 0 k k > 时， () () k f x fx ≤ +δ ． 证毕 18. 设(,,) X R μ 是测度空间，E R ⊂ ，{ fn}是 E 上可测函数序列，并且 nf f μ ⇒ （有 限函数），证明：必存在子序列{ fnv}，使得∀δ > 0，∃ E E δ⊂ ，μ( ) E Eδ − < δ ， 且{ fnv}在 Eδ 上一致收敛于 f . 证明： ∵ nf f μ ⇒ ， ∴ μ ε ({xE f f ∈ : 0 n −> →}) (n → ∞) ． 取 1 v ε = ，存在 v n ，使得 1 1 : 2 v n v xE f f v μ ⎛ ⎞ ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ∈ −> < ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ ． 按照这种方法取得{ fnv}， 其中 v v 1 n n < + ． 易有： v 1 μ ∞ = ∑ 1 : v n xE f f v ⎛ ⎞ ⎧ ⎫ ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ∈ − > <∞ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ ． 所以： lim j→∞ 1 : 0 v n v j x Ef f v μ ∞ = ⎛ ⎞ ⎧ ⎫ ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ∈ −> = ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ ∪ ． 于是∀ > δ 0，取 kj 充分大，使得 1 : 2 v k n k v j x Ef f v δ μ ∞ = ⎛ ⎞ ⎧ ⎫ ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ∈ −> < ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ ∪ ， kj < k 1 j + 令 1 1 : v k n k vj E xE f f v δ ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ ⎧ ⎫ = ∈ −< ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ ∩ ∩ ， 1 ( ) 2k k E Eδ δ μ δ ∞ = − < = ∑ ． 下面证明在 Eδ 上{ fnv}一致收敛于 f ： 事实上，∵ 1 1 : v k n k vj E xE f f v δ ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ ⎧ ⎫ = ∈ −< ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ ∩ ∩ ，对于一切 x∈ Eδ， ∀ > ε 0 ，只要 0 , k ∃ j 使得 0 1 kj < ε ，即v ≥ 0kj 时， 1 v < ε ，有 v nf f − < ε ．
实分析精选50题 即:{n}在E上一致收敛于f 证毕 19.证明存在[ab]上一列连续函数{n(x)},使得形式级数f+f+/3+…+n+ 在不打乱顺序的情况下,可将其中插入括号分段求和后所成的函数项级数(关于 m)几乎处处收敛于任何给定的 Lebesgue可测函数 证明 有理系数多项式全体为一个可列集将它们排成一列{q(x)},作 fn(x)=9n(x)-91(x)(92(x)=0) 对于任意的 Lebesgue可测函数∫(x),存在多项式函数P(x)→f(x),aex∈[ab] 对于每一个2()9(9((>-)使得2()-9(列 在P(x)收敛于f(x)的集合上考虑将f+∫2+∫3+…+fn+…加括号 f lim )=lim +1 于是im-/sm(-pl+|pn-f)=0 得到mqn=/,即:∑(m+…+m)= f aexela, b 证毕 20.设f(x),f(x)(x)…f(x)是[ab]上几乎处处有限的可测函数,且有 f(x)=f( [a, b] 则存在EC[,使得m1UE=0,而()在每一个E,上一致收敛于 证明 由 ErOPOB定理:对于,存在B,使得m(B)<·在[abBn上,{(x) 致收敛于f(x) 取E=[a小]B,m∩B)=0.因为∩B=[a小UE
实分析精选 50 题 19 即：{ fnv}在 Eδ 上一致收敛于 f . 证毕 19. 证明:存在[a b, ]上一列连续函数{ fn ( ) x } ,使得形式级数 123 ... ... n fff f + + ++ + 在不打乱顺序的情况下,可将其中插入括号分段求和后所成的函数项级数(关于 m )几乎处处收敛于任何给定的 Lebesgue可测函数. 证明: 有理系数多项式全体为一个可列集,将它们排成一列{ϕn ( ) x } ,作: 1 () () () n nn f xx x = − ϕ ϕ + (ϕ0 () 0 x = ) 对于任意的 Lebesgue可测函数 f ( ) x ，存在多项式函数 P x f x ae x a b n ( ) ( ), . . , → ∈[ ] 对于每一个 ( ) P x k , () k n ∃ϕ x ∈{ϕn ( ) x } (n n k k > −1 ),使得 1 () () k Px x k n k −ϕ < ． 在 ( ) P x n 收敛于 f ( ) x 的集合上,考虑将 123 ... ... n fff f + + ++ + 加括号: ( )( ) ( ) 1 11 1 11 ...... lim lim k k kk kk k n n n nn nn n n k k kk f f ϕ ϕ ϕϕ ϕ + ++ ∞ ∞ →∞ →∞ = == ∑ ∑∑ ++ = − = − = 于是lim lim 0 n nn n k k ( ) k k ϕ ϕ f p pf →∞ →∞ −≤ − + − = ． 得到lim k n k ϕ f →∞ = ,即: ( ) [ ] 1 1 ...... . . , k k n n k f f f aex a b + ∞ = ∑ ++ = ∈ 证毕 20. 设 1 2 ( ), ( ), ( ),...... ( )... k f x fx fx f x 是[a b, ]上几乎处处有限的可测函数，且有： lim ( ) ( ) . . , k [ ] k f x f x aex a b →∞ = ∈ 则存在 En ⊂ [a b, ]，使得 [ ] 1 ,\ 0 n n m ab E ∞ = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∪ ，而 ( ) k f x 在每一个 En 上一致收敛于 f ( ) x ． 证明： 由ΕΓΟΡΟΒ定理： 对于 1 n ,存在 Bn ，使得 1 ( ) m Bn n < ．在[ , \] n ab B 上，{ fk ( ) x }一 致收敛于 f ( ) x ． 取 En n = [ab B , \] ， 1 ( ) 0. n n m B ∞ = ∩ = 因为 [ ] 1 1 , \ n n n n B ab E ∞ ∞ = = ∩ ∪ =
实分析精选50题 所以时E0,而()在每一个E上一致收敛于(),证毕 21.设(X,R,)是测度空间,EcX,{n}是E上的可测函数列,(E)<+∞, fn∞.则对δ>0,丑的可测子集E。,使得A(E-E)<d,且{fn}在E 上均匀发散与∞. (即对任何m>0,3N>0,使n≥N,对一切x∈E8,f(x)≥M) 证明:∵fn·>∞,(E)<+∞,∴考虑集合{x∈E|nM}(M为任意自然数), 令F=∩U∩x∈EnPM}:则以(F)=H(E),(x∈F:f(x)→>∞) Merkel nek 令Fm=U∩x∈E1fn≥M,∴lim(Fm)=以(E),(E-F)=0 kel nek 这里E-F=UnU{x∈EfnM},以(E-F)=0 Merkel nek ∩Ux∈EfnM)=0:limp({x∈EfM})=0 kel nek 于是v6>0,对于每一个M4,存在一个n4,使U∪{x∈E!fMk)<n 这里M=K(不妨取n4>n-1) (UU{x∈ E:If, KsM4})≤∑(U{x∈EnkM})<o, kel mma k=l n=nk 令E。=E-UUx∈E围nM},则在E=∩∩x∈EnM}上有: k=l nenk vM>0,彐M>M,使x∈E,|fnPM,n≥n, 即:fn在E。上均收敛于+∞ 证毕 22.设f(x),8(x)是[a上严格递减的连续函数且对任意的t∈R,有
实分析精选 50 题 20 所以 [ ] 1 ,\ 0 n n m ab E ∞ = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∪ ，而 ( ) k f x 在每一个 En 上一致收敛于 f ( ) x ． 证毕 21. 设(X, R,μ)是测度空间， Ε ⊂ X ，{ }n f 是Ε上的可测函数列，μ(Ε) < +∞， ⎯⎯→∞ • μ n f .则对∀δ > 0，∃Ε 的可测子集 Εδ，使得μ(Ε − Εδ ) < δ ，且{ }n f 在Εδ 上均匀发散与∞ . （即对任何m > 0，∃N > 0，使n ≥ N ，对一切 ∈ Εδ x ， f n (x) ≥ M ）. 证明：∵ ⎯⎯→∞ • μ n f ，μ(Ε) < +∞，∴考虑集合{x :| f | M} ∈ Ε n ≥ ( M 为任意自然数)， 令 ∩∪∩ ∞ = ∞ = ∞ = = ∈ Ε ≥ 1 1 { :| | } Mk k n F x f n M ：则μ(F) = μ(Ε) ，( x Ffx ∈ : () n → ∞) ． 令 ∪∩ ∞ = ∞ = = ∈ Ε ≥ 1 { :| | } k k n Fm x f n M ，∴ lim ( ) = (Ε) →+∞ μ m μ m F ，μ(Ε − F) = 0． 这里 ∪∩∪ ∞ = ∞ = ∞ = Ε − = ∈ Ε ≤ 1 1 { :| | } Mk k n F x f n M ，μ(Ε − F) = 0． ∴ ( { :| | }) 0 1 ∈ Ε ≤ = ∞ = ∞ = ∩∪ k k n μ x f n M ∴ lim ( { :| | }) 0 n k n k μ x fM ∞ →+∞ = ∪ ∈Ε≤ = 于是∀δ > 0，对于每一个M k ，存在一个nk ，使 k n k n M k x f 2 ( { :| | }) δ μ ∈ Ε ≤ < ∞ = ∪ 这里M k = K （不妨取nk > nk−1）． ∴ μ ∈ Ε ≤ ≤ μ ∈ Ε ≤ < δ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ( { :| | }) ∑ ( { :| | }) 1 1 ∪∪ ∪ n nk n k k k n k x f n M k x f M ， 令 ∪∪ ∞ = ∞ = Ε = Ε − ∈ Ε ≤ 1 { :| | } k k n n M k x f δ ，则在 ∩ ∩ ∞ = ∞ = Ε = ∈ Ε ≥ 1 { :| | } k n n n k k δ x f M 上有： ∀M > 0，∃M k > M ，使∀ ∈ Εδ x ，| f n |≥ M ，n ≥ nk ， 即： n f 在Εδ上均收敛于+ ∞ ． 证毕 22. 设 f ( ), ( ) x gx 是[a b, ]上严格递减的连续函数.且对任意的 1 t R ∈ ,有: