实分析——例题精讲50题

实分析精选50题 证明: 由上题可以得到:对于X中任意一个元素E,存在E中有界闭集F,使得 m(F)=a<m(E).这里因为F属于某一个闭区间,去掉闭区间的两个端点 考虑到开集的构造,由于0<m(F)=a<m(E),所以必存在一个区间属于F 故对于每一个E,存在一个区间Ⅰ,IcE.考虑到有理数的稠密性,所以每 个I中存在有理数点.又因为有理数全体是可数的,所以X是可数的.证毕 11.设EcR有界,试证明:E是可测集当且仅当VE>0,存在有限个互不相交 的区间l,12,mn之并集J=Ul,使得m(E△)<E 证明: 因为E是可测集,且有界.所以存在一个闭集FCE,使得m(E\F)< 对于F,必存在一个开集G=F,使得m(G\F)<.由开集的构造可以得到, 存在{1}(k=12,),使得G=∪注意到F是一个有界闭集,所以是紧的.故 存在有限个1,(不妨记为:1,l2,Jm)使得J=UlkF·注意到 EMc(GNF)儿U(E\F),所以m(E△)=m(EM)<E 由题意,vE>0,有在有限个互不相交的区间,2,Jm之并集J=∪,使 得m(EA/)<E.考虑E\JcEM,因为m(E△/)<E,总存在一个开集G覆盖 E\J使得m(G)<E+E.令E\J=E0,所以m(G\E0)<2E 不妨考虑这有限个区间为开区间.这时GUJ会G也为开集.并且 m(G\E)<m(G\E0)<2 由于E的任意性,我们可以得到:vE>0,存在开集G,使得GE,m(G\E)<E 事实上这就是E可测的充分必要条件.所以E是可测集 证毕

实分析精选 50 题 11 证明： 由上题可以得到：对于 X 中任意一个元素 E ，存在 E 中有界闭集 F ，使得 mF mE () () = < α ．这里因为 F 属于某一个闭区间，去掉闭区间的两个端点， 考虑到开集的构造，由于0 () () < =< mF mE α ,所以必存在一个区间属于 F ． 故对于每一个 E ，存在一个区间 I,I E ⊂ ．考虑到有理数的稠密性，所以每 一个 I 中存在有理数点．又因为有理数全体是可数的，所以 X 是可数的． 证毕 11. 设 1 E R ⊂ 有界，试证明： E 是可测集当且仅当∀ε > 0 ,存在有限个互不相交 的区间 1 2 , ,... m I I I 之并集 1 m k k J I = =∪ ，使得 * mEJ ( ) Δ < ε ． 证明：⇒ 因为 E 是可测集，且有界．所以存在一个闭集 F E ⊂ ，使得 (\) 2 mE F ε < ． 对于 F ，必存在一个开集G F ⊃ ，使得 (\) 2 mG F ε < ．由开集的构造可以得到， 存在{Ik} ( ) k =1, 2,... ，使得 1 k k G I ∞ = =∪ ．注意到 F 是一个有界闭集，所以是紧的．故 存在有限个 i I ，（ 不 妨 记 为 ： 1 2 , ,... m I I I ）使得 1 m k k J IF = =∪ ⊃ ．注意到 EΔ ⊂J GF EF ( )( ) \ \ ∪ ，所以 * m E J mE J ( )( ) Δ = Δ< ε ． ⇐ 由题意，∀ > ε 0 ,存在有限个互不相交的区间 1 2 , ,... m I I I 之并集 1 m k k J I = =∪ ，使 得 * mEJ ( ) Δ < ε ．考虑 E \ J EJ ⊂ Δ ，因为 * mEJ ( ) Δ < ε ，总存在一个开集G 覆盖 E J\ 使得m G( ) < + ε ε ．令 E J\ = E0，所以 * 0 mGE (\ )2 < ε ． 不妨考虑这有限个区间为开区间．这时 GJG ∪  0 也为开集．并且： * * 0 0 mG E mGE ( \) (\ )2 < < ε 由于ε 的任意性，我们可以得到：∀ε > 0 ，存在开集G ，使得G E ⊃ ， * mGE (\) < ε 事实上这就是 E 可测的充分必要条件．所以 E 是可测集． 证毕

实分析精选50题 12.设AB是R上的正测集,令E={b-lb∈Ba∈A,则E必包含一个区间 证明: 由周民强书P定理215取=3,存在区间L,L使得: n(4∩1)>m(1),m(B∩l2)>m(l2) 记:1=(x1,x2),l2=(x3,x4) (i)若m(l1)≥m(l2); 考虑xx-x方*3(x4-x)(x2-x) 4 令A=An1,B=B∩l2若x∈E={b-ab∈B,a∈4},则: ({x}+A4)∩B=⑦ 但是({x}+4,考*3(x-x),3(xx.注意到m(1)2m(2), 所以(x,x)=x+(一x)3(x-x) 于是得到 4 BoX,,x, 3(x4-x),3(x2-x) 又因为(x+4)B=6,所以m(x+4)+m0B):(-x)3(x-x) 4 但由题意:m(4)+m(B1)=m({x}+4)+m(B)> (x4-x3),3(x2-x) 所以矛盾 故x∈E={b-a,b∈B,a∈具,即: b-a,b∈B,a∈A (i)若m(l1)<m(l2); 考虑vx∈x-x3,x 3(x2-x)(x4-x3) 12

实分析精选 50 题 12 12. 设 A, B 是 1 R 上的正测集，令 E =− ∈ ∈ { b a b Ba A ; , },则 E 必包含一个区间． 证明： 由周民强书 P98 定理 2.15 取 3 4 λ = ，存在区间 1 2 I ,I 使得： 1 1 3 ( ) () 4 mA I mI ∩ > ， 2 2 3 ( ) () 4 mB I mI ∩ > 记： 1 12 I = (, ) x x ， 2 34 I = (, ) x x . （ⅰ）若 1 2 mI mI () () ≥ ； 考虑 ( ) 43 21 ( ) 0 3 13 1 3 , 4 4 x x xx x x xx x ⎡ ⎤ − − ∀∈ − − + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ： 令 0 10 2 A AI B BI = = ∩ ∩ , 若 x0 1 ∉=− ∈ ∈ E b ab Ba A { ; , } ，则： ( ) {xAB 000 } + =∅ ∩ 但是( ) { } ( ) 43 21 ( ) 0 0 33 3 3 , 4 4 x x xx x A xx ⎡ − − ⎤ +⊂ + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ．注意到 1 2 mI mI () () ≥ ， 所以 3 4 (, ) x x ( ) 43 21 ( ) 3 3 3 3 , 4 4 x x xx x x ⎡ ⎤ − − ⊂+ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ．于是得到： B0 ( 43 21 ) ( ) 3 3 3 3 , 4 4 x x xx x x ⎡ ⎤ − − ⊂+ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ． 又因为( ) {xAB 000 } + =∅ ∩ ，所以 ( ) { } ( 43 21 ) ( ) 00 0 3 3 ( ) () 4 4 x x xx m x A mB − − ++ ≤ + ． 但由题意： ( ) { } ( 43 21 ) ( ) 0 0 00 0 3 3 () () ( ) () 4 4 x x xx mA mB m x A mB − − + = ++ > + 所以矛盾 故 x0 1 ∈=− ∈ ∈ E b ab Ba A { ; , } ，即： ( ) 43 21 ( ) 3 13 1 3 , 4 4 xx xx x xx x ⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥ − −+ − ⊂ ⎣ ⎦ {b ab Ba A −∈ ∈ ; , } ． （ⅱ）若 1 2 mI mI () () < ； 考虑 ( ) 21 43 ( ) 0 1 31 3 3 , 4 4 x x xx x x xx x ⎡ ⎤ − − ∀∈ − − + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ：

实分析精选50题 若xE2={a-bb∈B,a∈A},则({x}+B)∩4=⑦.但是 (}+B)耳,+(x-x)3(x-x) 因为m(1)<m(l2),所以4cx,x+ 3(x2-x)+3(x-x).于是 4 ({x}+4)+m(B 但由题意:m(4)+m(B)=m(x}+4)+m(B)> (x-x)+3(x2-x),矛盾 3 所以x∈E2={a-b,b∈B,a∈4},即: x1-x2.x1-x2+ bb∈B,a∈ 由讨论知:无论如何E必包含一个区间 证毕 13.设是可传σ-环上的外测度,S是由全体4-可测集组成的类,若A∈H, En}是S中之集的增序列,则r(im(A∩En)=m'(A∩En) 证明 事实上可以得到im(4∩E)=U(E∩4)=UEnA 令E6=,Dn=En-En1,(m=12…) 所以(0(02)(n0 因为:En∈S,En∈S,所以D∈S.于是由卡氏条件 (A∩En)=4(4∩En∩D)+4(A∩En∩D) 易见:'(A∩En∩D)='(A∩En1),(A∩En∩D)=(4nDn) 所以(AD)=(A∩En)-(A∩En)(n=12…) 故川UEn4≤(En∩A

实分析精选 50 题 13 若 x0 2 ∉=− ∈ ∈ E a bb Ba A { ; , }，则({xBA 000 } + )∩ = ∅ ．但是： ( ) {x0 0 } + B ( ) 43 21 ( ) 1 1 3 3 , 4 4 x x xx x x ⎡ ⎤ − − ⊂+ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 因为 1 2 mI mI () () < ，所以 A0 ( 43 21 ) ( ) 1 1 3 3 , 4 4 x x xx x x ⎡ − − ⎤ ⊂+ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ．于是： ( ) { } ( 43 21 ) ( ) 00 0 3 3 ( ) () 4 4 x x xx m x A mB − − ++ ≤ + 但由题意： ( ) { } ( 43 21 ) ( ) 0 0 00 0 3 3 () () ( ) () 4 4 x x xx mA mB m x A mB − − + = ++ > + ，矛盾． 所以 x0 2 ∈=− ∈ ∈ E a bb Ba A { ; , }，即： ( ) ( ) { } 21 43 1 31 3 3 , ;, 4 4 xx xx x x x x a bb Ba A ⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥ − −+ − ⊂ − ∈ ∈ ⎣ ⎦ 由讨论知：无论如何 E 必包含一个区间． 证毕 13. 设 * μ 是可传σ − 环上的外测度，__ S 是由全体 * μ − 可测集组成的类，若 A H ∈ ， {En} 是 __ S 中之集的增序列，则 ( ) ( ) * * (lim ) lim n n n n μ μ A E AE →∞ →∞ ∩ ∩ = . 证明: 事实上可以得到 ( )( ) 1 1 lim nn n n n n AE E A E A ∞ ∞ →∞ = = ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∩∩ ∩ ∪ ∪ ． 令 E0 = ∅ , DEE n nn = − −1 ,( ) n =1, 2,... ． 所以 ( ) ** * 1 1 1 m m m n nn n n n μμ μ E A D A DA = = = ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ≤ ≤ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ∪ ∪ ∩ ∩∩ ∑ ． 因为: __ __ 1 , , ESE S n n ∈ ∈− 所以 __ D S n ∈ ．于是由卡氏条件: ** * ( )( )( )c μμ μ A∩ ∩∩ ∩∩ E AE D AE D n nn nn = + 易见: * * 1 ( )( ) c μ μ AE D AE ∩∩ ∩ nn n = − , * * ( )( ) μ μ A∩∩ ∩ E D AD nn n = 所以 * ** 1 ( )( )( ) μ μμ AD AE AE ∩ ∩∩ n nn = − − (n =1, 2,...) 故 ( ) * * 1 m n m n μ μ E A EA = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∪ ∩ ∩ ．

实分析精选50题 令m→>∞,有(im(4nEn)≤lim(4nEn),而我们可以很容易地得 到:(im(A∩En)2lm(AnEn),于是(im(AnEn)=lim(AEn)证毕 14.设山是定义在X上的一切子集所成的类上的正则外测度,使得(X)=1 设M是X的一个子集,使得A(M)=0,4(M)=1.如果令 (E)=4(E)+4(E∩M) 试证明:(i)U是一个外测度 (i)集E是U-可测集的充要条件:E是山-可测集 (ⅲ)设A是一个给定的集合,则对于包含A的任何b-可测集 E, infU(E)=2u(A) (iv)U不是正则外测度 证明 (i)对于E=,U(∞)=(∞)+(∩M)=0 若E1cE2,A(E1)≤(E2);A(E1∩M)≤4(E2∩M),所以U(E)≤U(E2) 而 E=AUE E∩M) (E)+∑(E∩M)=∑((E)+'(E∩M)=∑U 所以υ是一个外测度 (i)若E是一个μ-可测集 所以对于任意的T:(T)=(T∩E)+4(T∩E), (T∩M)=(T∩M∩E)+(T∩M∩E) 考虑对于任意的T:U(T)=4(T)+(T∩M) (T∩E)=(T∩E)+(T∩E∩M) U)(T∩E)=4(T∩E)+(T∩E∩M)

实分析精选 50 题 14 令 m → ∞, 有 ( ) ( ) * * (lim ) lim n n n n μ μ A E AE →∞ →∞ ∩ ∩ ≤ ，而我们可以很容易地得 到: () () * * (lim ) lim n n n n μ μ A E AE →∞ →∞ ∩ ∩ ≥ ，于是 ( ) () * * (lim ) lim n n n n μ μ A E AE →∞ →∞ ∩ ∩ = .证毕 14. 设 * μ 是定义在 X 上的一切子集所成的类上的正则外测度,使得 * μ ()1 X = . 设 M 是 X 的一个子集,使得 * μ ()0 M = , * μ ( )1 M = . 如 果 令 : * ** υμμ () () ( ) E E EM = + ∩ 试证明:(ⅰ) * υ 是一个外测度. (ⅱ)集 E 是 * υ −可测集的充要条件： E 是 * μ − 可测集. (ⅲ)设 A 是一个给定的集合,则对于包含 A 的任何 * υ − 可测集 E , * * inf ( ) 2 ( ) υ μ E A = . (ⅳ) * υ 不是正则外测度. 证明: (ⅰ) 对于 E = ∅ , * ** υμμ () () ( ) 0 ∅= ∅+ ∅ = ∩ M . 若 () ( ) ( ) ( ) * ** * 12 1 2 1 2 E ⊂≤ ≤ E E E EM EM , ; μ μμ μ ∩ ∩ ,所以 ( ) () * * υ υ E1 2 ≤ E ． 而 ( ) * ** 1 11 i ii i ii υ μ E E EM ∞ ∞∞ = == ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∪ ∪∪ ∩ * * 1 1 () ( ) i i i i μ μ E EM ∞ ∞ = = ≤ + ∑ ∑ ∩ = ** * 1 1 ( ( ) ( )) ( ) i i i i μμ υ E EM E ∞ ∞ = = ∑ ∑ + = ∩ 所以 * υ 是一个外测度. (ⅱ) 若 E 是一个 * μ − 可测集. 所以对于任意的T : ** * () ( ) ( )c μμ μ T TE TE = + ∩ ∩ ， ** * ( )( )( )c μμ μ TM TME TME ∩ ∩∩ ∩∩ = + ， 考虑对于任意的T : * ** υμμ () () ( ) T T TM = + ∩ ， * ** υμμ ( )( )( ) TE TE TEM ∩ ∩ ∩∩ = + ， * ( )c υ T E ∩ = * * ( )( ) c c μ μ TE TE M ∩ ∩∩ +

实分析精选50题 所以U(T)=b(m∩E)+b(7∩E).即集E是U-可测集 若集E是U-可测集,则有 (T)+'(T∩M)=(T∩E)+(T∩E∩M)+4(T∩E)+(T∩E∩M) 由外测度的性质:(T∩M)≤4(T∩E∩M)+(T∩E∩M) 所以E是山-可测集 (i)E是U-可测集,由(ⅱ),E是山-可测集 所以由测度论书中P65定理8:(E)=(E∩M)+(E∩M) 因为(E∩M)sA(M),又因为: (M)+(M)s(MUM)=1,(M)=1 所以p(M)=0,(E∩AM)=0;(E)=(E∩M)故(E)=2(E)由于 是正则外测度,所以存在可测覆盖F,使得(F)=4(4) 即:(4)=inf{(E):E=A,E∈S}.这里3指全体山-可测集 所以infU(E)=24(A) (iv)S指全体A-可测集 考虑b(E)=inf{b(F):FE,F∈S}: 对于M,D(M)=2(M),但b(M2)=(M)+(M∩AMO=(M) 而事实上r(M)≠0.若(M)=0,由山(M)=0,得到M是-可测集 但事实上M并不是-可测集所以A(M)≠0.即:b(M)≠b(M2) 即υ不是正则外测度 证毕 15.设A,BcR",A∪B可测,且m(AUB)<∞.若:m(AUB)=m(A)+m(B)

实分析精选 50 题 15 所以 ** * () ( ) ( )c υυ υ T TE TE = + ∩ ∩ ．即集 E 是 * υ −可测集. 若集 E 是 * υ −可测集,则有: ** * * * * () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c μμ μ μ μ μ T TM TE TEM TE TE M + =+ + + ∩ ∩ ∩∩ ∩ ∩ ∩ ． 由外测度的性质: * μ ( ) T M∩ ≤ * μ ( ) TEM ∩ ∩ * ( ) c +μ TE M ∩ ∩ ． 所以 E 是 * μ − 可测集. (ⅲ) E 是 * υ −可测集,由(ⅱ), E 是 * μ − 可测集. 所以由测度论书中 P65 定理 8: ( ) ( ) ( ) * * * c μμ μ E = + EM EM ∩ ∩ ． 因为 * * ( ) () c c μ μ E ∩ M M ≤ ，又因为： ( ) * * * ( ) () 1 c c μ μμ M M MM +≤ = ∪ , * μ ( )1 M = 所以 * ( )0 c μ M = , * ( ) 0 c μ E M∩ = ； ( ) ( ) * * μ μ E = E M∩ 故 ( ) * * υ μ () 2 E = E ．由于 * μ 是正则外测度,所以存在可测覆盖 F ,使得 * * μ μ () () F A = ． 即: __ * * μ μ ( ) inf ( ) : , A E E AE S ⎧ ⎫ = ⊃∈ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ .这里 __ S 指全体 * μ − 可测集. 所以 * * inf ( ) 2 ( ) υ μ E A = . (ⅳ) __ S 指全体 * μ − 可测集 考虑: __ __ __ * υ υ ( ) inf ( ) : , E F F EF S ⎧ ⎫ = ⊃∈ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ： 对于 c M , ( ) __ * * ( )2 c c υ μ M = M ，但 ( ) * ** * () ( ) () c cc c υ μμ μ M =+ = M MM M ∩ ． 而事实上 * ( )0 c μ M ≠ ．若 * ( )0 c μ M = ，由 * ( )0 c μ M = ，得到 c M 是 * μ − 可测集. 但事实上 c M 并不是 * μ − 可测集.所以 * ( )0 c μ M ≠ .即: ( ) __ * * ( ) c c υ υ M ≠ M . 即 * υ 不是正则外测度. 证毕 15. 设 , n AB R ⊂ ， A B ∪ 可测，且mA B ( ) ∪ < ∞ .若: * * mA B m A m B ( ) () () ∪ = +