定义2如果级数∑un部分和数列{sn}有极限s,即 n=l lim Sn =S n-→0 00 则称无穷级数∑4，收敛s称为此级数的和且有 n=1 S=u1+l2+.+un+.) 00 若{sn}无极限，则称无穷级数∑4n发散 7n= 即常数项级数收敛（发散）← lim s存在（不存在） n→00 当级数收敛时，称差值 n=S-Sn=4n+1+4n+2+·为级数的余项 显然 lim n =0 HIGH EDU品N PRESS
s s n n = → lim 则称无穷级数 收敛. s称为此级数的和.且有 n=1 n u , s = u1 + u2 ++ un + 定义2 如果级数 部分和数列 有极限s，即 n=1 un { }n s 若 无极限，则称无穷级数 发散. n=1 n {sn } u 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 显然 lim n n s 即 常数项级数收敛 → (发散) 存在(不存在)
例1.讨论等比级数（又称几何级数） ∑ag”=a+ag+aq2++ag”+.(a≠0)〉 1n=0 (q称为公比)的敛散性 解：1)若q≠1，则分和 Sn=a+ag+ag2+.+ag"1=a-ag" 1-4 当g<1时，由于1img”=0,从而1imSn=g n→00 n->oo 因此级数收敛，其和方吕g 当g>1时，由于1img”=oo,从而lim S=oo, 1n→o0 n->o0 因此级数发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 讨论等比级数(又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q a a q n − − = 1 从而 q a n n S − → = 1 lim 因此级数收敛 , ; 1 q a − 从而 lim = , → n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
∑ag”=a+aq+ag2++ag”+.(a≠0) n=0 2).若9=1，则 当g=1时，Sn=na→0，因此级数发散； 当q=-1时，级数成为a-a+a-a++(-1)2a+. 因此 n为奇数 n为偶数 从而lim S2不存在，因此级数发散 1>00 综合1)、2)可知，q<1时，等比级数收敛； 9≥1时，等比级数发散 HIGH EDUCATION PRESS
2). 若 因此级数发散 ; 因此 Sn = n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 因此级数发散