在导出上式时，曾展开被积函数，并应用格林第一恒等式。同理可导得E波的单位长度波导 中磁能的时间平均值等乎 “ds=形。 (1.66) 沿波导传播的功率流盘等于每单位长度中总能量和能量传播速度，的乘积。利用(1.63)和 (1.65),并利用关系式P=2W。vg,解得能量传播速度为 p=具，=， (1.67) 2。 12 式中，=c=1/√。e。是自由空间中TEM的速度。一个波型的相速就是观察者要保持z一 ⊙：÷常数所必须运动的速度。取B2一叶=常数对t的微商，得 o=0Vg。=B% =,-9-9 ko. (1.68) 式中，是相速。比较(1.67)和(1.68)，可见 0wg=v昭=c品 (1.69) 换句话说，能量传播速度不会大于光速。。通常，又等于信号的群速，这也就是用下标9 的理由。用式(1.64)和(1.66)证明E波型能量传播速度仍是(1.67)式。(1.68)和(1.69)式也 适用于E波型。 1.雕落波型的能量 现在研究非传播的E和H波型（即雕落波 型)的能量关系。图1.7示出两横截面S:和S2 (两面相距1)所载成的波导段，现在计算波导 段（以S,和S2为界)体积内雕落波型的净（电 或磁)能量的时问平均值。假定体积严内无有耗 21 物质。把坡印草矢量的时间平均值，在包图体积 图1.7能量关系的讨论 V的封闭面上积分，得 B,×,ds-E,×,ds=j2@(wm-形，） 因在管壁上2：×任背等于零，S2上面的元矢量指出为负2方向。在S:和S2上的积分类似 于式(1.63)和(1.64)，但这里的Y是实数，因此有一个指数因子e2,且Z,和Y。都是虚 数。仿照类似推求(1.63)和(1.64)的分析，对于H波型，上式变成 2Z,点，ya号ic-e】 功*"ds=j2@(形m一形。） 所以 W ta (de (1.70) 4 上式说明雕落被型在同长度波导内，所í储磁能时间平均值大下所储电能时间平均值。对于 波型，可以看到雕落波型中储有净电能，简单地说，作。>。对于波型，相当于(1：？0) 武的表达式则是 17
形。-wn-y:Vavk号e(1-e) ds (1.71) 81 此式的推导类似于(1.70)式的步骤。非传播H波型的磁能大，非传播E波型的电能大，当然 同这些不传播波型的电感性和电容性阻抗有关。在波导的不连续性处，可以看到某一障碍物 的电感性和电容性都可由障碍物附近的非传播波型中的净能决定。因此，上述能量关系式极 为重要。 2.波导中的衰藏 电磁波在填充各向同性均匀煤质（损耗正切gδ)波导内传播的衰减常数很容易计算， 只需在以前推得公式中e,以e(1-jtg6)来代替。传播常数p=a+jB的方程就变成 y2=(a+jB)2=k8-024。c(1-jtg8) (1.72) 式中α和B分别是衰减常数和相移常数。如果损耗很小，6<1，在工作频率远高于戴止频率 情况下(a《B),式(1.72)可近似为 -B2+j2a8=:-02,e+j@uctg8 所以 -8B2=:-2μ。e 介质损耗引起的良减为 a=kerlgd 28 (1,73) 式中e,=e,/e。为相对介电常数。 由于波导管壁电导举是有限值，引起的衰减可由一级近似法得出。在这个方法中，对于 已知传播波型，具有有限电导率管壁上的电流，可假定为等于电导率无限大管壁上的电流。 从已未微扰波型的电流分布就可算出管壁上的损耗，然后利用关系式2αP=P。计算衰减 常数Q。上述关系式中，P为已波型沿波导传搭的功率流量，P。为管壁上的功率损耗。 管壁上电流密度等于磁场正彻分量。对于波型，沿被孝边界C积分就得每单位长度内损耗 1下： P=是R事。[8m×7:12+好*门d 式中R。=√山o/石为具有磁导￥“的金属表面电阻。于是，管壁引起的II型波的接减常数 就是 比中.n×7,+结]d1 (1.74) 2,B明ds 式巾，巴从式(1.63)代入管内功彩流量。上波型的袅减常数是 a。=2 中{V:12d1 2B: (1.75) 在式(1.74)中，为波岸管壁上单位法线.上矢景。如已知本征函数中*和中，波导中的衰减常 数便可由上两式求得。小要上们频苹并不按近于截止频，且集深度火」平均装不规则 18
性时，上述简单理论足供计算实用波导的衰减常数。实际上发现，波导的管壁一般在较短波 长不能看成光滑面，而衰减值大于理论数值。这是由子表面不平整度所产生的影响。 在截止颜率，B=0，式(1.74)和(1.75)预测衰减为无限大。根据简单理论，此时功率 停止沿波导传播，同时，管壁上损耗仍是有限的。 三、矩形波导 最常用的波导是矩形波导，这是因为：传播单波型时，工作频带较宽，衰减相当低，而 传播主波型时波型稳定性相当高。常用矩形波导尺 寸见图1.8。 1.横电波型或H波型 由上节所述，现在我们是在直角坐标系(“：= x,42=y,2;e:=e2=1)中进行研究，此时，方 程(1.53)可改写为 装+器 ++轻0*=0 (1.76) 档1.8矩形波导 波守边值常数坐标曲线重合。因此，可用分离变量法水解，若设 *=X(x)Y(y） 并代入(1.76)式，则得 }+}影+好=0 1X项只是x的函数， Xax }影只是？的函数，好是一个常致。所以，只有当每一列是宿 数时，此方程才适合于所有的和y的值。于是可得 大d2=-: I dX. 或 g+x-0 子影=胡 或 器+好r0 式中，轻+=：。这样，通过分离变量法，把偏微分方程简化为两个通常的二阶简谐方程 式，不难得到X(x)和Y(y)的解为 X(x)=A1coskxsinkx y(y)=B:coaky Baginkyy 式中A、A2、B、B:是任意常数。这些常数和分离常数、，可以由*所必须满足的边 界条件来确定。对]于*在边界上需要满足 日的米· 8x .=0, 在×二0,3处 2的* 8ys0, 在y=0,6处 这里，波导的横截面如图【.8所示。在：求解时，边界条件是 -k,A,s知kx+k42心0sx=0,在=0处 因而，￥s0处的条件，可得A2=0。前在×=4处，必须使面k。a=0,这就挑定了 19
。所能取的值为 。加花 m女0,1,2，… 同理可得B2=0,和 bg-n 6 #=0,1,2,… m和”两者都等于零使中◆的解为常数，这个解是无意义的。如果利用上述关系式，并令 4:B=Am,则可写出中◆的解为 鳞=Anc0gmπ c0朗ny (1.77) b 其中m=0,1,2,…,n=0,1,2,ym如#卡0。常数Am是与机n模相联系的任意振幅常 数。n模的截止波数用km。表示，且为 k=(）+(g)] (1.78) 显然，它只是波导尺寸的函数。mn模的传播常数Ymm为 -(")+("）-娲=m好 (1.79) 可见，对于每组整数m,”有一个解或波型成立，各波型以TEm或Hmm来标示。mn波型 的裁止波长是 2π (1.80) 具有最长截止波长的波型称为主波型，如4>b,主波型为H1。,其截止波长为2c。 22 (a1 2 TE ☑ 86 (b) 2 图1.9矩形波导内传播的几补横电波的瞬时场分布：(@)TE,(6)T上1 20
利月(1.5)式。不难山(1,77)式求出的中◆写出波导中TEmm或Hmn波型的场分量表 达式米，为 1,=+n(产）桔mmn”o要e… .t7("）ge H.=8,mn4结c0gm平x0gn开yet'mn b (1.81) .=jo(0）4点o ”x gin n yeFma E,=-jo,(） 4结9i油m7， c0g byeFimas E:=0 根撐此式，我们可以同出T%,波型的场结构图。如阁1,9示出了矩形波导中传播的几 种波型图。 2.横磁波型或波科 在横磁波型的求解中，由于妙满足如同专一样的波动方程，因此在波导管壁上满足边 职条件÷0的适当解是 e月in7。xin7y (1.82) m=1,2,…,n=1,2,… 对于不同的整数m和”，也具有无数多对解。但是与T上被不同的是m或”等于零时没有 解。裁止波数与TE波的表示式一样，即 m=[(m）+(0）] (1.83) 其传播常数Pma则是 层-(）'+(}°-好 (1.84) 场分量的表达式，可利用(1.62)式把(1.82)代入而写出为 E,=千(）贴o胸m“ge R.=年(）始mrg a E,=k好Bm0i血"ge (1.85) 1=-joc(”）."gxo西ea 6 H,=+ja,(）贴.0agg… H,=0 这种波型称为TMmn或Emn波型。图1,10示出了几种TM波型的场分布。 21