通过矢量Ⅱ来表示电秘场的关系。计算线天线的辐射场，以及干其中有一个坐标为直线的坐 标系统中研究电磁场埘，使川Ⅱ矢量是小分方使的。 由无源马克斯韦方程组的对称性，我们可由V·D=0取 E=-uxan a4 (1.1) 及=77亚*-ea a 其中Ⅱ称为磁赫芝矢量，它满足(1.39)型式的波动方程。 由(1.40)和(1.41)式的讨论可见，在4、8为常数，P及J为0的空间，电磁场可由两 个部分场迭加而到得，一个是出(1.40)式给出的，而另一个是由(1,41)式给。而这些场的 源分布是在我们所研究的的区域之外： B=7×V×n-u7× at （1.12) H=eVx f+又x☑xn# an Vx7×n-VV.n+ue a0 (1.43) 7×7×I*-V7.n*+e0 f2…=0. 由(1.42)可见E及严是通过Ⅱ及卫*的旋度运算得出来的，所以对Ⅱ和Ⅱ*加入一 标量函数的梯度，是不会影响E及丑的最后值。因此在选取(1.43)的解时，我们仍有定的 自由。其实，由前述的讨论，在P=J=0处， V·A=0,单=0，所以只需要A的两个独 立分量即可将一个电磁场正确表非，那么在这 里所引入的亚及亚◆的六个分量中，只有两 个是必要的，在某些特殊坐标系统中，这两个 必需的分量是显然的。例如在柱面坐标系中， 一组坐标曲面是出平行于之轴的直线所形成的 柱而族。如图1.5所示，在此柱而族的任一个 上可取三个互相正交单位矢量名：、、，在 此坐标系统中任一点的位置将由1、2、之坐 图1.5正柱面坐标(2，“2，)系 标给出，而长度元由下式给山 dS=dm +iz duz +i da (1.44) 在此坐标巾我们可取亚=i。Ⅱ，Ⅱ，=Ⅱ2=0，即沿2轴取向，那么由(1.42)的第-一项即得 E,-1a2☑ e12a, E2÷1.日“卫 es O2 0uz E={是e）+品（盟小-器-0 h,se是al at ea Qua. H:=8om t edu H:=0 (1.45) 12
不难看出E:和上：是的梯度的横向分量。由(1.45)式所定义出来的电磁场无纵向 02 磁场分量（即H,=0),因此，这样的电磁波被称为横磁场(（TM场）。 Ⅱ是正交坐标中的一个分量，所以(1,43)的第一式将为 VI -wein= a (1.46) 在柱坐标系统中写出来，就是 品（色)+（+器-器0 (1.47) 利用(1.47)式就不难看到(1.45)式第三式的后一等号是成立的。 完金类似地，我们可取夏奉=，Ⅱ*，Ⅱ童=Ⅱ空=0，这样义得到一个部分场，而Ⅱ廉满 足(1.6)式。由(1.42)式的第二项即得横电场(TE均)： H1-1a2n* e1 02au H性=1a7 e2 0x Ou2 ainLBa(g0）+(e0lan H路=-.1「(e:an Ouz e2 au2 022 -4e习7* 2 E数=-丛0Ⅱ* e:at au E登=4a2Π e1 OfOur E第=0 (1.48) 也看出H1和H:是L的梯度的横向分量。 8z 以上我们讨论了A、P及Ⅱ与Ⅱ◆等辅助位函数的取法，可见针对每一个具体问题分别 处理可使电磁场的计算予以简化。例如，在研究柱形波导的传播问题时，就可明显地看到这 一点。 §1-2规则·波导 本节讨论均匀柱形波导内部电磁波的性质。所研究的波导是柱形导电管。其截面沿传播 方向均匀不变。导波的轴取z轴。首先假定管壁具有无限大的电导率。此外，还假定内部是 空的，或是充满了各向同性均匀媒质，具有电磁参鼓4和ε。波导设想为无限长，电磁场的 波源位于无限远处。因此，抛开源点来研究波导中的传播波的性状。 在上述波子内部马克斯韦方程的解可以分成两组，亦即两种波型。其中一组波型缺少纵 向（轴向）磁场分量，不过这种波型具有轴向电场，称为电型波(E波)或横磁波(TM 波)。这种波型的场分量可由具有轴向分量的电型赫芝矢量推得。另一纽波型只有轴向磁场 分量，并无轴向电场分量，称为磁型波(H波).或横电波(TE波)。这种波型可由只有轴 向分量的磁型赫芝矢量求得。在柱形波导内部T?M波不能传播，因为在贝有横向电场和磁 场的假定下；既没有轴向电流或轴向位移电流，又没有磁球可以构成横向场分量。换个方式 着，在一个闭合边界的内部横截面上，当边界上的电位不变时，拉普拉斯方的解不成立 (至多是个常数)，除菲边界内部有奇异点。所以，可川来推得TEM波型的位函数并不 13
在。 在波导中还可能存在其它波型，不过它们可由E和H波的线性组合长示，因为E和H波 型形成一个完整的集合，任意场可由它来标示。 一、柱形波导的一般性质 所有柱形波导有若干共同性质，因此， 这里先来讨论如图1,6所示具有任意横截面 的波导。选用正交曲线柱坐标系(41,42,2)， 沿坐标系的单位矢量分别为，2，，波 导内部假定为自由空间，时间变化为e的 简谐波。 1,横电型波 图1.6脊适性波导 TE波型可用悠型赫艺矢量亚◆=，Ⅱ E=-joμ.V×I* (1.49) 狂=VV.亚奉+格亚*=VxV×Ⅲ* 求得；式中Ⅱ*为方程 VU◆+h培Ⅱ=☑·1I*-V×7×I[*+8l* (1.50) 的解影后=o。=x/A将，面为TEM波在自由空：间中的波长。因这里所求的是传播 波，所以可假定亚*的解为 夏*=t中*(1,2)e (1.51) 函数p*满足·维的标量波动方程 7程中*+后的*=0 (1.52) 式中 经=格+y 7是算符V中的横向部分。在(u1,2,2)坐标中，拉梅标度因子分别为c,2和c=1, 所以式(1.52)改写成为 品（器）+品（售小+好=0 (1.53) 通常上式不易求解，除非变量可以分离，才能具有形刘 的◆=U1(w1)U2(2） 的解。如的解成立，使中*满足所需边界条件仍是难题，除非波导边界和常数坐标曲线 重合。许可的k:值（因而传播常数y2)取决于的边界条件。名有无数个离散值，所以 有无数个波型。只有有限个传播常数是纯虚数，所以只有有限个波型能沿波导自由传播。 在现在场分量可由(1.48)或(1.9)到出知下： 11上”日的* e*, l以2=止22约* c:du ez duz .品+品（2器 5,=-0,1日9”e*0, e2 Duz E:=i@u1d的* e1 dui E.=0 (1.5) 14
或简记为 班：=士e4☑t的* H2=一7？的*e±Y:✉特妙*e±训 (1.55) E,=±io4。t,×f. y 式中·表示横向部分。 Zi=jou/y (1.56) 为标量波阻抗。对于传播波型，Y是虚数，等于B。在这种情况下，波阻抗Z是实数，等 于Z。。/P，,其中Z。=√μ。e。为自由空间的本征阻抗。对于非传潘被型，被阻抗是虚数， 而且是感性的。 对于理想导电管壁的波导，*必须满足边界条件*/=0，才能使边界上切向电场 分量和法向磁场的分量都为零。这个边界条件决定许可的k:值和P2值。参数。称为截上 被数，因为它决定不能进行自由传播的波长，亦即在截止状态下的变成零。如在某一波型 中，所州，恰好使得。=，截止状态就出现。截止波长等于 A。=2r/hc (1.57a） 知果波宁内充满具有参量4和e的媒质，截止状念将出现子。=0VμE=k,故自由空间 中酸止波长通常应等于 -2(y (1.57b) 如对某一特殊传播波型已求得截止波长（它仪是波导藏面和华，ε的函数），则B值和波导 内的波长都可算出。内波长12是波在被导内传播并作相位变化2π弧度的距离，所以 A。=2π/B (1.58) 利用关系式k-B2=,解得Ag为 g=A/√1-(o/ic)2 (1,59a) 波导内若允满具有参量为“，ε的媒质，曾内州波长则是 hr=hey Ho eo/ue (1.596) √1-(o/i。) 式中。见式(1.57b),。则是自由空间中的波长。对于任何。<A。,出现能自由传播的波 型。当接近。时，管波长趋了子无限大：等到。=。时，自由传播终止。如果>A,这 个波垫沿波导随距离指数地衰落，通常称为雕落波型。 2.横磁型波 TM或乃型波可山电赫：芝矢量丑=山： B=l+V八VⅢ=☑xVxI (1.60) =j,V×L 式中几为下式的解： 7Ⅱ+好W=VV.亚-V×7×n+好Ⅱ=0 (1.61) 如果假定亚的解取为，(4，)e,可得场分龙类似于式(1,55)的一组方開： E:=±yV:pe*a E:=-了程中*灯✉轻中ea (1,62) H,=下y.iexB: 15
式中Y。是标量波导纳，等于。Y/y,Y。为自由空间的本征导纳，等于√e。严。。对于理 想波导管壁，E。在边界上为零，故中也须在边界上为零。这种被型有无数个离散的k名值， 每个波型各有一个截止波长1。，管内波长可由式(1.59)计算。对子？=jB,波导纳是纯实 数，等于Y。。/B,相反，如Y是纯实数，波导内有不传播波型，被阻抗是纯容性的。 二、功率、能量与夜减 在理想导体波导内，各波型独立地传播功率，不受它种波型的影啊。沿波炉的功举流等 于复坡印亭矢量对波导横藏面积分的实部。 对于一个传播H波型，功率流的时间平均值是 P=合.Exi.da=是R,×ds =-音2t×7:)x7:]ds 式中已用式(1.55)代入横向场分量，并用jB代替Y。展开被积函数得 (tn×V:中◆)×又：◆=-（又：◆.又：功*）t。+(:*.t)☑：的 上式标乘：后，得-V:*.又：为◆。利用格林第一恒等式，功率流的表达式就变成 专26小7”d:=号2∬7d+号2w5.ga 在波导边界上，ap/∂n=0,H-铝◆代7◆，并相k。Z,/B代Z得H波型传搭功率的时 间平均值为 (1.63) 对子一个E波型花波导内传播，它的功率流的时问平均值是 P2别.x尾xV-=含，点，B院j儿u: (1.61) 推导上式时，先展开被积函数，然后应用格朴第一恒等式，并应用管壁上边界条件中=0， 就得式(1,64)的最后结果。 对于一个传播波型，·其中电能的时间平均值和磁能的时间平均值彼此相等。在两个横截 面（两面间的距离为任意长）和波导管壁所形成的闭合面上，求复数坡印亭矢量的面积分， 就可说明上述结论。因已假定管壁是理想的导体，对面积分有贡献的只是两横截面上的积 分，有 ∬Bxs是，ds=i2e(。-,)+4=0 因×Ht。是实数；可见在无耗波导，从一个横截上流入的功彩恰好等于从另个横 截m流出的功率：。作这两个横截面之间的休积内，必然得出伊m=世。，P=0。 对于H波型，每单位长度波导巾电能的时间平均值是 。=}j「E,·Bds=小2axV￥Pd (1.65) 16