中国地质大学（武汉）：《信号与系统 Signals and Systems》课程教学资源（课件讲稿）第三章 泛函分析初步

第三章泛函分析初步 ·§3.1线性空间 §3.2线性子空间 §3.3距离空间 ·§3.4 Banach空间 ·§3.5 Hilbert空间 ·§3.6完备规范正交集上广义傅里叶展开 2

2 第三章 泛函分析初步 • §3.1 线性空间 • §3.2 线性子空间 • §3.3 距离空间 • §3.4 Banach空间 • §3.5 Hilbert空间 • §3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开

§3.1线性空间 ·线性空间：设W0（W为非空集合) -（1)W中元对“+”构成交换群，即对V三，平，Z∈W, 有 1.X+Y∈W(加法封闭性) 半群 i.(X+Y)+Z=X+(Y+Z)(结合律) iii.0∈W,使0+X=X(存在零元) 群 交换群 iv.3-X∈W,使(-X)+X=0(存在逆元) V.X+Y=Y+X(交换律) 3

3 §3.1 线性空间 • 线性空间：设W≠Ø（W为非空集合） – (1) W中元对“+”构成交换群，即对 X,Y,ZW, 有 ⅰ. ⅱ. ⅲ. ⅳ. ⅴ.       , , W W W                               0 0 + + 0 + + + = + + = = + = + （加法封闭性） 半群 （结合律） 使 （存在零元） 群 交换群 使 （存在逆元） （交换律） X Y X Y Z X Y Z X X X X X X Y Y X

§3.1线性空间 -(2)对VX,Y∈W,Va,B∈X(复数域)有： vi.a(BX)=(p)X∈W vii.(a+B)X=aX+BX vi.a(X+Y)=ax+aY ix.1.X=X 称W为线性空间；若a,∈X,则W为复线性空 间；若a,BeP,则W为实线性空间。 4

4 §3.1 线性空间 – (2)对 X,YW， α,βC（复数域）有： ⅵ. ⅶ. ⅷ. ⅸ. 称W为线性空间；若α,βC ，则W为复线性空 间；若α,βR，则W为实线性空间。            W            1 + + = + = X X X X X X Y X Y X X

§3.1线性空间 1)加法封闭 2)数乘封闭 台X,∈W,a,∈口有∑a,X,∈W i=l ·C[a,b][a,]上所有连续函数的全体)是线性空间。 ·span{X1,X2,,Xn}是由X1,X2,,Xn张成的线性 空间。 5

5 §3.1 线性空间 • • • 1 , N i i i i i W W           1)加法封闭 有 2)数乘封闭 X X C , , [a b a b ][ ]上所有连续函数的全体是线性空间。 span 1 2 1 2 , , , , , , n n 是由 张成的线性 空间。 X X X X X X

§3.1线性空间 ·线性空间W上的算子L为线性算子 t空xy言al! ·零状态线性系统一系统算子为线性算子 6

6 §3.1 线性空间 • 线性空间W上的算子L为线性算子 • 零状态线性系统系统算子为线性算子   1 1 L L N N i i i i i i               X X