笼巾的光速"=1//。c,之问有知下关茶 k=0Vu,5,s名x-2x (1.9) 冈此，花真空(1.8)式变为 7E+8E=0 7H+品H=0 (1.10)） 这样，很容易求出自由空间中方程(1.1c)-(1.4a)和1由它j导光的方程(1.10)的特解，这个 解为 B=E,808[o-ka(5+7y+t] (1.11) H=H8[og-e,(5x+y+z门 为一单色平而波，其中专、刀、t是波传播方向单位矢量的方向余弦。欠振幅E。、H。削 相互关系为 n·Bm=0, 靴·H,=0 v4,H。=(nxve:E) (1.12) 这样，场E和丑是横向的，即两个矢量垂在于波传播方向：此外，在自由空间中电场与 磁场矢量彼此正交，而其量值之间的比，由(1.12)式可见，在我们所使用的单位制用，恰为 自由空间的本征阻抗：Z。=E,|/川H,=√e。。 诚然，单色平面波是…个特解，那么还存在许多其它形式的解。然而，付利叶定理得 ,(1.1a)-(1.4a)方程的所有非奇异解可看作是有限或无限多个单色平前波的迭州。 最后我们阿忆下电磁能和能流密度的定义。在存在电磁场的空问甲，每·个电荷元 Pd?受到电场力PBd?的作用，还要受到电磁力的作用，电磁力的大小正比于电荷元处磁 场强度H和电荷位移速度V的矢量积。由于电璐力菲直于速度矢量，所以它不作功。因此， 在电磁场作用下带电体于d:期间所作的功等于 dL=di(E.V)pdv=dt(E.J)dv (1.13) 假定在无穷远处电磁场等于0，(1.13)式中的J由(1.2)所行的表示来代替，并计及到 (1.1),求得： dL-dB-(Vx )uo s-d4[E,80-E.v×ne a -dfB.-x do do (1.14） 考虑到场和感应强度之间满足于(1.6)关系，得到 路影ED2+(H-B/21d 别是eB+TPd 7
值 0=号(eE+uH)=号E.D+H.B] (1.16) 是电磁场的能量密度。 如果被研究的是由封闭表面S所限定的有限空间V,在其中电磁场不为，于是求得 引，2(ED+H:B=9片+(Bx团.do (1.17) 其中(E×)n表示E和丑矢积垂直于S表面的分量。于是，我们看出矢量 S=E×H (1.18) 应是穿过单位表面的电磁能通量，这就是坡印亭能流密度矢量。 二、电磁场量的复数表示 布光学和电磁学中，所讨论的场的时间变化函数是简谐的，可以利用复数昼使数学分析 大为简化。这种方法的基础是欧拉恒等式 ea=coBa+jsina 式中j=√一1。此式表明实数正弦型函数和复数指数间的关系。 作为例子，我们取单色平面电磁波中的一个分量E。来进行讨论，由前述设 E,=|E8!c08[o-k(x+ny+t2)+9] 为了简明起见，之轴沿波传播方向，这样 E=Ecos[ot-k2+] 式中|E是实常数，？也是实数。现在利用复数来表示上式 Ea=E世e(at-e=) (1.19) E=Egle 此处E9是复振幅，同时包括实振幅E引和相位p。(⊙t一z)函数确定了沿正2轴方向传 播的波，如果在(1.19)式中以-2代替之，我们便得到同一频南和同一复振幅，但在负2方 向上传播的波的复数表示。这样两个相反方向传播波的迭加，便形成了驻液。对驻波而言， E,将正比于6：e。 当只在线性方程和线性运算中，使用电磁场的复数表示不会发生错误，而且十分方便。 但是在非线性关系中，例如在w、S的表示式(1.16)和(1.18)中使用复数，则不能导出如同 在：实数条件下获得的同样结果，所以在分析非线性量值时往往需要回到实数表示去。但是， 在讨论高频电磁波时，使用场的复数表示，对于较快地计算类似于(1,16)和(1.18)式的平均 值是十分方便的。 假使有一简谐电磁场，在实数描述下，可以把它表示为 E=}E。(x,y,z)川c09(@时+) (1.20) f=|H(×,y,z)川c0s(t+p) 式中|E,}和狂，引是x,y,z的实矢量函数，9可以是实常数或×，y,2的实函数。现在来计算 w和S,把(1.20)代入到(1.16)和(1.18)，我们求得 w=号[e1Ecos2(a时+g)+u1H,l2co92(ot+9)】 8
S=[{R.I×1H.1门os2(11g) 孔在州复数表示场量，通过 首 E=E。(x,y,z)eut H=Ho(,y,2)eimt (1.21) E。=l:lew, f。=lHn1ep 来代替(1.20)，于是以 0=是[eB,B*+HH*1=eF+H川) (1.22) S=合E×H 来代替(1.16)和(1.18)。共中““”号表示复数的共轭位。我们是根据下述原因来采刑(1.22) 式的：对于高频电磁场实际观察到的只是w和S值的时问平均俏。如果依(1.20)式来计算平 均伯，则求得 花=青eE,+u1灯 (1.23) 8=1E,l×,1门 这些俏同我们把(1.21)代入(1.22)式所得的结果完全-致。 于是，我们看到使用场的复数表达的形式，由(1,22)式直接得到w和S的平均偵，这是 我们唯一感兴趣的。由于这个原因大家都喜欢采用它。 这里要特别指出，在近代电磁场的量子理论巾，场的复数衣示不贝是数学方法，面具行 更深刻的物理意义。在这些理论中(1.22)类型的公式起着重要的作用。 三、正交曲线坐标系中的马克斯韦方程 现在我们引入经常使用的曲线坐标系，而且布：所有被研究的问题中这种曲线坐标系总是 正交的（图1.4）。所以，我们必须知道马克斯 韦方程在这种坐标里的写法。 在正交曲线坐标里，长度元的平方可以写成 为 ds2=(e:du)+(exduz)2+(esdus) (1.24) 其中1,2，是三个坐标，而e1,e2,e4是b d53 线坐标的拉姆系数。 ds2=e2duz 研究属于坐标面中的一个面元，并应用斯托 克斯定理，容易证明矢量关系 A=VxB (1,25) 这些矢量沿所选择曲线坐标轴的分层问的联系， 图1.4正交线坐你 可以写成为下述三个关系式： A品A- 4 -eB2） (品8，-品a时 ese1\aus (1.26) 9
1（品a是) c am 列-·方而，手d、d2、da三个元所构成的无限小平行六面体讼刀格林定理，证明 又A=,1日e4c44+0 (1.27) ciezesL ou +品eci+ee 这样，在正交曲线坐标中马克斯韦方程为 -e=忌e,品R 2FI:=-0. ~e,2=aeF,-3ue✉Eg -ee=品eE,品eE ,e=盖aaeh cme8-品e:品cn (1.28) ee8=品e::-aen a41 sea Du: e8eeh:+a品eel,=0 ou e2 n se1E2t日c1E,=0 0u3 对于时间的简请场，运用这些方程时，意味者以0来代替。。 8t。 四、矢量位和赫老矢量 中(1.4)可见B是无源的，可以通过一个矢量A的旋度来表出 B=VxA (1.29) 知果将(1.29)代入(1.1)，即得到 7x(B+94）=0 可见B+是个无能矢，因而可川标量话数中的梯度爱示，则有 B=-(仅9+4) (1.30) (1.29)和(1.30)式是遥过位函数来表示电磁场矢量B及E,其中矢景函数A被叫做矢量 磁位，们标量函数平被称为标量位。 把(1.29)(1.30)代入合有片出项的马克斯书方程组，可得到新的方程 eg-79=p1e+日（ a(ueg股+v·4) (1.31) 器-A=-7(e:g是+A) 作我们的讨论巾只有场才有物理意义，而位诉数只是川简化计算的中间量，因而它们 10
沈具行很大的任意性，即君、B不能唯一地出A、p确定。例，在矢量A和标”下，根 (1.29)和(1.30)假定得到已知场B龙，那以在位函数 A'=A+7F, g'=9g-日F 21 尔件下，面(1.29)(1.30)式得到间样的场。其巾F是x、y、2、t的任意数。位函数 的这种不确定性可用一附加条件而予以限制。洛仑兹所给的限制条件是 V.A+ue 09.=0 at (1.32) 这-…来，(1.31)式简化为 e部-7gae (1.33) a-VA=uJ 可见，在满足(1.32)条件下，位函数在真空巾(p=J=0)以光速'。传播。 在P=J=0的无源区进行讨论时，马克斯韦的第二方程纠的自由项为0，因而两组 方程之间的不对称性也消尖了。此附，又·D=0。 类似于矢量磁位的讨论，由7D=0,我们可以引入矢量电位A*,使 D=-7xA* (1.34) 把它代入(1.2)式(J=0),并引入标位p*,则得到 旺=-(7*+04） at) (1.35) 在丑的表示式巾，符号的变化是由于马克斯韦两组方程间a/项的符号不同而引起的。矢 量位A*和标最位*之间的洛仑兹条件为 7,A*+ue0p*= 8t-0 (1.36) 则把(1.34)和(1.35)代入乃克断非的第一方程组(1.1)与(1.4)式，可见 -了29g*=0 ut, (1.37 换们话说，矢登位A◆和标量位即以光速传播。 现在转到赫芝矢量的讨论。 作为矢壁计算，有时我不取A,而引入一个所谓电赫艺矢量Ⅱ，Ⅱ可以取成为 A=ue on at, p=-7·I (1.38) 它满足于(1.32)式，显然在无源的真空中 ,器-7n=0 (1.39) Ⅱ以光速。来传播。把(1.38)式代入(1.29)和(1.30)给出· 旺=e7xan at Ea77·Ⅱ-μe a2 2 11