例.求函数 f(x)=(x-1)x3的极值 解：)求导数了=+-小-子3 2)求极值可疑点 令f"(x)=0,得x1=号，x2=0为不可导疑点 3)列表判别 (-0,0) 0,2) f'(x) 0 f(x) 0.33 x=0是极大点其极大值为f(0)=0 x= 是极小点其极小值为f()=-0.33 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 = 3 + 2 f (x) x 3 1 3 2 ( 1) − x − x 3 5 2 3 5 x x− = 2) 求极值可疑点 令 f (x) = 0 , 得 ; 5 2 x1 = x2 = 0 为不可导疑点 3) 列表判别 x f (x) f (x) 0 5 2 0 + − + 0 − 0.33 (−, 0) (0 , ) 5 2 ( , ) 5 2 + 是极大点，其极大值为 是极小点，其极小值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理3（极值第二判别法） 设函数f(x)在点x,处具有 二阶导数，且f'(x)=0,f”(x)≠0 (1)若f"(x)<0,则f(x在点xo取极大值： (2)若∫"(xo)>0,则f(x)在点xo取极小值 证：()f(o)=im)-)=im x→x0 x-X0 x→x0X-X0 由f”(x)<0知，存在6>0，当0<x-x<8时 '(e<0 x-X0 故当x-δ<x<x时，f'(x)>0: 当x0<x<x0+δ时，f'(x)<0, xδx0x+ 由第一判别法知f(x)在x取极大值 (2)类似可证 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理3 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . − + 证: (1) ( ) 0 f x 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − = → 0 ( ) lim 0 x x f x x x − = → ( ) 0 , 由 f x0 知 存在 0, 0 , 当 x − x0 时 故当 x0 − x x0时，f (x) 0; 当x0 x x0 + 时，f (x) 0, 0 x 0 x0 − x + + − 由第一判别法知 ( ) . f x 在x0 取极大值 (2) 类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束