√ find (1 0'tzdt 2t十 i dt 2,是4 :2+c 11 3-7n+1smx√mx+C 2 sAncos 1772 1-+COs 解设c0sx=t,则 sinzcosrdx=-1d,故得 sincos r 1+cosd 2J1+t d e t+aIn(1+t)+C 2”2 0s'x+ln(1-+cos'x)+C. 1773 dx cos r 解设tgx=t则dx=(1+t2)dt,故得 sInr (t+tide +at+C tgx+ x+C. lr 1774 n.rdr √+nx 解设1+tnx=t,则 Inrd (1+Inx-1)d(1+inr ,故得 37
Inxdx t-2(t-1)dt x√①+nx (t一t-) dt 3 -2tz+C =(lnx-2)√1+lnx+C. 1775. 解设e=t,则c2=t2,dx=2,故得 ∫4=2ax-=2(12+1+m 2 2Int+2ln(1+t)+C =-2e5-x+2n(1+e)+C. 1776. dur 解设√1十 则x=ln(t2-1),d 故得 dx dt In(i+1+c 1+e-1 C √1+e+1 x-2n(1+√1+e)+C 1777 arc tg y dr
代入得 d d(sint) (1- sin2t) d(sint) 1 f d(1+ sint) l[d(1- sint 2J(1+ sint) 2J(1-sint) desist) 1- sin2t 1L 1+sint +In int 1+sint21-sint C tgt. sect+In(sectttgt)+CI x√x2-2+ln(x+√x2-2)+C. (2)当x<-√2时,仍设x=√2sect,但限制 2 其余步骤与上相同,注意到,此时sect+tgt <0,因此在对数符号里要加绝对值,即结果为 2+ln」x+ 2|+C 总之,当|x1>√2时, d x2-22 2+ln}x+√x2-2|+C 1780 -rEd 解被积函数的存在域为一a≤x≤a,因此设x= asin,并限制-≤t≤7.从而 ost.d
代入得 a2- rtdx d cos2tdt 2+C t+-sintcost+C 令 arcsin王+2√a2-x+C )利用1742题的结果 1781. dr 解被积函数的存在域为—∞<x<+∞,因此可设 x=atgt,并限制 <<?从而 d r=asec'tdt 代入得 costa sint+C (x2+a2) tgt +C 1+tg2t 1782 解被积函数的存在域为一a≤x<a因此可设x= asin,并限制- 从而 +sint 1+sint COS Sint cost 代入得
atidr Fa(l+ sint )dt =a(e-cost )+C arcsin z2-x2+C(-a<x<a) 注意,上式在端点x=-a也成立即函数F(x)= arc sin-√a2-x2在点x=-a的(右)导数等于被 积函数f(x) 在点x=-a之值.事实上,由 于F(x)和f(x)都在-a≤x<a连续且F(x)=f(x) 在-a<x<a成立.故由中值定理,知当-a<x<a时, 有 F(x)=F(-a)-F'(G)=f(),-a<< x 由此可知,(右)导数 ) li F(x)-F(-a) lim f(E)=f(-a) 4→-a+0 下面有些题目在端点的情况可类似地进行讨论,从略 1783 dr 解被积函数的存在域为0≤x<2a,因此可设 x=2asn2t,并限制0≤t<2从而 2asin't cost ,dx=4asintcostdt 42