握讨论简单分段函数连续性的方法。 6.了解连续函数的性质，理解初等函数在其定义区间内必连续的结论。 7.了解闭区间上连续函数的基本定理。 8.掌握求极限的基本方法：利用极限运算法则、无穷小量的性质、两个重 要的极限以及函数的连续性等求极限的值。 同步练习 一、填空 km+n小为 名m arcsin+x-x片 3m1+3+5+2n-少 m+)sn月 4、m+h1+x)求= 5、设吗f)存在，且f)=x+2xmf.则吗f)月 6、设m(产-=mxsm2,则k= 设g的3，则a ,b= 8当x→0时，+m-m式，则k 9、如果函数f)=+买 -0<x<1在其定义域上连续，则a= a x=0 2-1 10函数y一3十2的间断点为 ,其中可去间断点为 补充定义 一使其连续。 二、选择 1、下列命题正确的是( 之和仍是无穷小 B、两个无穷大的和仍是无穷大 公光个无现支量但不足无穷小的来积一定是无易 D、两个无穷大的积仍是无穷大。 2、己知f(x)=e,则x=0是函数的(
握讨论简单分段函数连续性的方法。 6.了解连续函数的性质，理解初等函数在其定义区间内必连续的结论。 7.了解闭区间上连续函数的基本定理。 8.掌握求极限的基本方法：利用极限运算法则、无穷小量的性质、两个重 要的极限以及函数的连续性等求极限的值。 同步练习 一、填空 1、 + → x x x x x sin 1 1 lim sin 0 = 。 2、 lim arcsin( ) 2 x x x x + − →+ = 。 3、 n n n n 1 ( 1)sin 1 3 5 (2 1) lim 3 + + + + − → = 。 4、 x x x 2 0 lim 1+ ln(1+ ) → = 。 5、设 f (x) x 1 lim → 存在，且 f (x) x x f (x) x 1 2 2 lim → = + ，则 f (x) x 1 lim → = 。 6、设 x x x x k 2 lim ( ) − − = x x x 2 lim sin → ，则 k= . 7、设 3 sin( 1) lim 2 2 1 = − + + → x x ax b x ，则 a = , b = . 8、当 x →0 时， 1+ tan x − 1− sin x ∽ k x 4 1 ，则 k = 。 9、如果函数 ( ) = + − = 0 ) 0 1 1 1 ( 1 a x x x x f x x 在其定义域上连续，则 a = 。 10、函数 3 2 1 2 2 − + − = x x x y 的间断点为 ，其中可去间断点为 ， 补充定义 使其连续。 二、选择 1、下列命题正确的是（ ） A、无限多个无穷小之和仍是无穷小。 B、两个无穷大的和仍是无穷大 C、无穷大与有界变量（但不是无穷小）的乘积一定是无穷大。 D、两个无穷大的积仍是无穷大。 2、已知 x f x e 1 ( ) = ，则 x =0 是函数的（ ）
A、无穷型间断点B、跳跃间断点 C、可去间断点D、其它类型间断点 3、im.sin arctannx=( A、1B、-1C、0 D、不存在 4、对于函数y=V1-x2x∈(-1，)，下列结论中不正确的是( A、是连续函数 B、是有界函数 C、是有最大值和最小值 D、有最大值无最小值 5、设f(x)在(-o,+o)内有定义，且1mf(x)=a,g(x)= 白x+0 0x=0 则( A、x=0必是g(x)的第一类间断点 B、x=0必是g(x)的第二类间断点 C、x=0必是g(x)的连续点 D、g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关 6、函数f(x)在x=x。点有定义是它在该点有极限的() A、充分条件B、必要条件C、充要条件 D、无关条件 7、函数)=任-2x+中在（)过程中为无穷大量 x3+1 A、x→1B、x→2 C、x→-1 D、X00 品 C.ab 9、若f(x。+0)与f(x。-0)均存在，则( A、mf(x)存在且等于f(xo) B、mf)存在但不一定等于fx,) Cmf(x)不一定存在 、f(x)必不存在 10、函数f(x)=n1+x)在下列()区间上有界 A、(-1,0)B、(0,+)C、(-1,0]D、(2,3)
A、无穷型间断点 B、跳跃间断点 C、可去间断点 D、其它类型间断点 3、 x x lim sin arctan ln 0 → + =（ ） A、1 B、-1 C、0 D、不存在 4、对于函数 2 y = 1− x x (−1,1) ，下列结论中不正确的是（ ） A、是连续函数 B、是有界函数 C、是有最大值和最小值 D、有最大值无最小值 5、设 f (x) 在（- ,+ ）内有定义，且 = = = → 0 0 ) 0 1 ( lim ( ) , ( ) x x x f f x a g x x 则（ ） A、 x = 0 必是 g(x) 的第一类间断点 B、 x = 0 必是 g(x) 的第二类间断点 C、 x = 0 必是 g(x) 的连续点 D、 g(x) 在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关 6、函数 f (x) 在 0 x = x 点有定义是它在该点有极限的（ ） A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件 7、函数 ( )( ) 1 1 2 1 ( ) 3 + − − + = x x x x f x 在（ ）过程中为无穷大量 A、 x →1 B、 x →2 C、 x →−1 D、 x → 8、若 2 ( ) 1 lim 0 = → x f ax x ，则 = → x f bx x ( ) lim 0 （ ） A、 a b 2 B、 2ab 1 C、 2 ab D、 b a 2 9、若 ( 0) f x0 + 与 ( 0) f x0 − 均存在，则（ ） A、 lim ( ) 0 f x x→x 存在且等于 ( ) 0 f x B、 lim ( ) 0 f x x→x 存在但不一定等于 ( ) 0 f x C、 lim ( ) 0 f x x→x 不一定存在 D、 lim ( ) 0 f x x→x 必不存在 10、函数 f (x) = ln(1+ x) 在下列（ ）区间上有界 A、（-1，0） B、(0,+) C、(−1,0] D、（2，3）
三、计算 小m0+2”+3”+4"+5) 产sn 2、hmmx &只-点-2 Vx2-4 4.m aresn 5x-si 3x 、设f0-2)=1-3y,m) 1+x2-x2 -1≤x<0 6、讨论函数f(x)= h1+2x) x>0 在分断点的连续性 0 x=0 8、m(n+2)-hn 四、证明题 1、试证明曲线y=xe-x2-1在x=0与x=1至少与x轴有一个交点 2、设函数f(x)在区间[a,b上连续，且f(a)<a,f(b)>b,证明：存在5e(a,b)使得 f(5)=5 应用实例 银行复利的计算 一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存100元，银行的年利率为4%，且可以 任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累了多少养老金？如果存款和复利按日计算， 则他又有多少养老金？如果复利和存款连续计算呢？ 1 解技月春孩和计第时，每月的利2为立“心。一刘。记，为第人月水时的养老金 数，则由题意得
三、计算 1、 n n n n n n n 1 lim (1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) → 2、 x x x x sin 1 sin lim 2 →0 3、 4 2 2 lim 2 2 − − − − → + x x x x 4、 x x x x sin arcsin 5 sin 3 lim 0 − → 5、设 x x f x ) 3 ( − 2) = (1 − ， lim f (x) x→ 6、讨论函数 ( ) = + − + − − = 0 0 ln 1 2 0 1 1 0 1 1 ( ) 2 2 2 x x x x x x x x f x 在分断点的连续性 7、 x x e e x x x sin lim sin 0 − − → 8、 n n n n lim ln( + 2) − ln → 四、证明题 1、试证明曲线 1 2 y = xe − x − x 在 x = 0 与 x =1 至少与 x 轴有一个交点 2、设函数 f (x) 在区间 a,b 上连续，且 f (a) a, f (b) b ，证明：存在 (a,b) 使得 f ( ) = 应用实例 银行复利的计算 一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存 100 元，银行的年利率为 4%，且可以 任意分段按复利计算，试问此人在 5 年后共积累了多少养老金？如果存款和复利按日计算， 则他又有多少养老金？如果复利和存款连续计算呢？ 解 按月存款和计算时，每月的利息为 300 1 100 4 12 1 = ，记 k x 为第 k 月末时的养老金 数，则由题意得
￥=100 =1io0+1+ 名=1m+1o+》 -o+1o++1o+” 5年末养老金为 x60=100x =30o+°-元 当复利存发按日计，配，为天的养老全数，果降天的款复为。一 4 每天的利率为r36500·第k十1天的养老金数量与第太天养老金数量的关系为 + 从第1天开始递推为 +) 器++】 器+ 在5年末时的养老金数为 %-81-·】 当存款和复利连续计算时，我们先将1年分为m个相等的时间区间，则每个时间区间
x1 =100 = + + 300 1 x2 100 100 1 2 3 300 1 100 1 300 1 100 100 1 + + x = + + 1 300 1 100 1 300 1 100 100 1 − + + + = + + n n x 5 年末养老金为 = + − − + − + = ) 1 300 1 30000 (1 300 1 1 1 300 1 1 1 100 60 60 60 x （元） 当复利和存款按日计算时，记 k y 为第 k 天的养老金数，则每天的存款额为 365 1200 a = ， 每天的利率为 36500 4 r = 。第 k +1 天的养老金数量与第 k 天养老金数量的关系为 + = + + 36500 4 1 365 1200 k 1 k y y 从第 1 天开始递推为 365 1200 y1 = = + + 36500 4 1 365 1200 365 1200 2 y 2 3 36500 4 1 365 1200 36500 4 1 365 1200 365 1200 + + y = + + 1 36500 4 1 365 1200 36500 4 1 365 1200 365 1200 − + + + = + + n n y 在 5 年末时的养老金数为 − = + − + − + = 1 36500 4 30000 1 36500 4 1 1 36500 4 1 1 365 1200 1825 1825 1825 y （元） 当存款和复利连续计算时，我们先将 1 年分为 m 个相等的时间区间，则每个时间区间
中存款为120，每个区间的利息为10 4 。记第k个区间养老金的数目为：4，类似于前面 的分析得5年后的养老金为 4) .l2w-tda】 4) m1-1+100m)】 =30001+10o0nm-(元) (1) 4 再让m→+∞即得连续存款和计息时5年后的养老金数为 4） ▣30ow+o0n-小30wo0e-)元 观察这三种不同情况下复利的计算问题，我们可以看出将1年分为m等份得出的计算 公式①)具有一般性，当m分别取12和365时就是前面两种情况下的计算公式。另外。 +)》 是m的单调增函数，所以计息间隔越小，5年后的养老金数就越多，但不 会超过连续存款和计息时的极限值。在这三种情况下的具体计算结果分别是 x0≈6629.9，m5=6641.68,2=6642.08 由于存款和计息的间隔越小时，收益越大，且不需要一次到银行存入较多现金，而是分 批逐渐存入，对投资者的资金周转有利。所以在银行按复利计息时，我们建议存款者尽量采 用小间隔的策略。 第三章 导数与微分 基本要求 1.了解导数的概念：知道导数的几何意义与经济意义：了解可导与连续的关 系。 2.熟练掌握基本初等函数的导数公式。 3.熟练掌握导数的四则运算公式。 4.掌握反函数的导数公式。 5.熟练学握复合函数的链式求导公式。 6.掌握对数求导法与隐函数求导法。 7.了解高阶导数的概念，掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的阶导 数的方法
中存款为 m 1200 ，每个区间的利息为 100m 4 。记第 k 个区间养老金的数目为 k z ，类似于前面 的分析得 5 年后的养老金为 − = + − + − + = 1 100 4 30000 1 100 4 1 1 100 4 1 1 1200 5 5 5 m m m m m m m z （元） （1） 再让 m → + 即得连续存款和计息时 5 年后的养老金数为 = − − = + →+ 1 30000 1 100 4 lim 30000 1 5 1 5 e m z m m （元） 观察这三种不同情况下复利的计算问题，我们可以看出将 1 年分为 m 等份得出的计算 公式（1）具有一般性，当 m 分别取 12 和 365 时就是前面两种情况下的计算公式。另外， 由于 m m 5 25 1 1 + 是 m 的单调增函数，所以计息间隔越小，5 年后的养老金数就越多，但不 会超过连续存款和计息时的极限值。在这三种情况下的具体计算结果分别是 x60 6629.9, y1825 = 6641.68, z = 6642.08 由于存款和计息的间隔越小时，收益越大，且不需要一次到银行存入较多现金，而是分 批逐渐存入，对投资者的资金周转有利。所以在银行按复利计息时，我们建议存款者尽量采 用小间隔的策略。 第三章 导数与微分 基本要求 1.了解导数的概念；知道导数的几何意义与经济意义；了解可导与连续的关 系。 2.熟练掌握基本初等函数的导数公式。 3.熟练掌握导数的四则运算公式。 4.掌握反函数的导数公式。 5.熟练掌握复合函数的链式求导公式。 6.掌握对数求导法与隐函数求导法。 7.了解高阶导数的概念，掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的 n 阶导 数的方法