同步练习与自测试题答案提示 第一部分线性代数 第一章、行列式 一、填空 1、6,5 2、mn-k 3正、 4、4 5、24、 6、x 7← d,n为奇数时为2d,n为偶数时是0 8、-1 9、0 10、7 二、选择 1、D2、C3、A4、A5、D6、B7、D8、C9、D10、C 三、计算 1、1752、[x+(n-1)ax-1)-3、6(n-34、(x-ax-a2)(x-a)5 (-l0*x-26、c-a,b-a,b2-.-anbn 四、证明（略） 第二章线性方程组答案与提示 、填空 1、r,m- -1 1 0 1 2、 0 +k0 ,k,k,k为任意常数。 (0/ 3、k(G-r)+k(仍-)+5，其中k,k为任意常数 4、n-k,n。 5、=n,r<n. 8、片≤5。 9、相关。 10、1
同步练习与自测试题答案提示 第一部分 线性代数 第一章、行列式 一、填空 1、6，5 2、 k n n − − 2 ( 1) 3、正、 4、4 5、24、 6、 4 x 7、 d n n 2 ( 1) ( 1) − − ，n 为奇数时为 2d，n 为偶数时是 0 8、-1 9、0 10、7 二、选择 1、D 2、C 3 、A 4、 A 5 、D 6 、B 7 、D 8、C 9 、D 10、 C 三、计算 1、175 2、 1 [ ( 1) ]( 1) − + − − n x n a x 3、6(n − 3)! 4 、 ( )( ).( ) 1 2 an x − a x − a x − 5 、 1 2 ( 1) + − − n n x 6、 a b a b anbn c − 1 1 − 2 2 − . − 四、证明（略） 第二章 线性方程组答案与提示 一、填空 1、r ,m-r 2、 − 0 0 1 1 , − 0 1 0 1 ， − 1 0 0 1 ， 1 k − 0 0 1 1 + 2 k − 0 1 0 1 + 3 k − 1 0 0 1 ， 1 k ， 2 k ， 3 k 为任意常数。 3、 1 2 1 2 3 1 1 k (r − r ) + k (r − r ) + r ，其中 1 2 k , k 为任意常数。 4、n-k, n 。 5、r=n , r n 。 6、2 。 7、相关 。 8、 1 2 r r 。 9、相关 。 10、1
二、选择 1、B2、B3B4、C5、D6、D7、A8、D9、B10、C 三、计算 1、k(112,k≠0 2、当1≠-2时，线性方程组无解：当1=-2时，线性方程组有解。当仁-2，p-8时， X=(1,1,00+c,4,-2,1,0+G(1,-2,0y,c,c为任意数 当=-2，p≠-8时，X=(1,1,00+c(1,-2,0,1y,c为任意数。 3、(D4+a=0(2)4+a≠0)4+a=0 1c-3b≠0 lc-3b=0 4、1-14≠0 5、秩为2，a,4,为一个极大无关组，a=-a+2%2,a,=-2a+30, 6、由于(4)=3，则四元线性方程组AX=b的导出组AX=0的只含一个解向量，所以AX=0 的任意非零解都是它的基础解系。AX-0的基础解系可取为 7=a2+2a-3a1=(-5,9,-7,9,AX=b的全部解为：a+cn,c为任意常数。 7、由于齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩()=2：所以AX=0的基础解系含有 n-=5-2=3个解向量，B和四个行向量虽然都是AX=0的解但不能构成AX=0的基础解系 由以上分析，AX=0的任意3个线性无关的解向量都是它的基础解系，而B的第1,2， 4行是线性无关的，可以构成AX=0的基础解系。故AX=0的基础解系可取为 n=4,-2,10,0 2=0,-2,0,1,07 h3=(5,-6,00,1 8、由于方程组系数矩阵A的秩(4)=2，AX=0的基础解只含有一个解向量，它的任意 个非零解都可以作为它的基础解系，可取为刀=B一B=(2,0,2,、。原方程组的 全部解为（通解）：B+cn,c为任意常数 四、证明（略） 第三章矩阵 一、填空 13.⅓933,4-⅓ 2、1,或0,1 3、0
2 二、选择 1、B 2、B 3、B 4、C 5、D 6、D 7、A 8、D 9、B 10、C 三、计算 1、 k(−1 1 2 1) , k 0 T 2、当 t −2 时，线性方程组无解；当 t = −2 时，线性方程组有解。当 t=-2,p=-8 时， ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 X 1, 1, 0 0 c 4, 2, 1, 0 c 1, 2, 0 1 , c , c T T T = − + − + − − 为任意数； 当 t= -2 ,p -8 时， X ( ) c( ) c T T = −1, 1, 0 0 + −1, − 2, 0, 1 , 为任意数。 3、（1） − + = 3 0 4 0 c b a （2） 4 + a 0 （3） − = + = 3 0 4 0 c b a 4、1 0 4 − t 5、秩为 2， 1 2 , 为一个极大无关组， 3 = −1 + 22 ，4 = −21 + 32 6、由于 r(A) = 3 ，则四元线性方程组 AX=b 的导出组 AX=0 的只含一个解向量，所以 AX=0 的 任 意 非 零 解 都 是 它 的 基 础 解 系 。 AX=0 的 基 础 解 系 可 取 为 ( ) AX b T =2 + 23 − 31 = − 5, 9, − 7, 9 , = 的全部解为： c , c 1 + 为任意常数。 7、由于齐次线性方程组 AX=0 的系数矩阵 A 的秩 r(A) = 2 ；所以 AX=0 的基础解系含有 n-r=5-2=3 个解向量，B 和四个行向量虽然都是 AX=0 的解但不能构成 AX=0 的基础解系。 由以上分析，AX=0 的任意 3 个线性无关的解向量都是它的基础解系，而 B 的第 1，2， 4 行是线性无关 的，可以 构成 AX=0 的 基础解系。 故 AX=0 的基 础解系可取为 ( ) T 1, 2, 1, 0, 0 1 = − ， ( ) T 1, 2, 0, 1, 0 2 = − ， ( ) T 3 = 5, − −6, 0, 0, 1 8、由于方程组系数矩阵 A 的秩 r(A) = 2, AX = 0 的基础解只含有一个解向量，它的任意一 个非零解都可以作为它的基础解系，可取为 ( ) T = 1 − 2 = − 2, 0, 2 ，、。原方程组的 全部解为（通解）： c , c 1 + 为任意常数。 四、证明（略） 第三章 矩阵 一、填空 1、3， 3 , 1 24 ,9,3 ,3 , 1 3 1 4 7 − 2、1，或 0，1 3、0
4、E-A,-(A+E) 5、AB+BAO 6、2 （0B） 日4o-r 8、kA (300 9、020 001 10、4,1,0 二、选择 1、B2、D3、D4B5、B6、C7、A8、A9、C10、C 11、B12、C13、D14、B15、A 三、计算 (31 1、X=(E-A)B=22 11 3-4-1931 2、= -23 0 -5 0 2 1-a1-b） 3、X=1+2a-1+2b,其中ab任意常数 a b 4、 (100 5、110 (0n1 1157 。6(Rx 0 10-1
3 4、E-A，-（A+E） 5、AB+BA=0 6、2 7、 n n d A d B − − − 2 ,( 1) 0 1 0 1 8、 1 * k A n− 9、 0 0 1 0 2 0 3 0 0 10、4，1，0 二、选择 1、B 2、D 3、D 4、B 5、B 6、C 7、A 8、A 9、C 10 、 C 11、B 12、C 13、D 14、B 15、A 三、计算 1、 = − = − 1 1 2 2 3 1 ( ) 1 X E A B 2、 − − − − − − = − 0 0 1 2 0 0 3 5 2 3 14 23 3 4 19 31 1 A 3、 + − + − − = a b a b a b X 1 2 1 2 1 1 ，其中 a,b 任意常数 4、 − − − − 2 1 1 2 7 5 1 1 2 1 1 2 5 ， − − 2 4 8 0 1 2 1 0 1 ， − − − 0 0 1 0 1 2 1 2 3 5、 0 1 1 1 0 1 0 0 n 6、 1 0 −1 2 1 1 11 5 7 7、16 8、 − − − − − 1 2 1 1 1 2 1 1 A BA A A O
四、证明（略） a 2、4,1 3±1 4、- 5无穷多 6号到 7、a+pi 8-房店+店 二、选择 I.D 2、C3、B4、A5、C6、B7、D8、B9、B10、B 三、计算 (17 1、过渡矩阵P=AB= ,坐标变换公式Y=P-X (2 -2)】 2、与a,4均正交的向量X=(出x2xx了满足Xa,=Xa4,=0,即 「x1+x2+x3+x4=0 -x2+3x-3x,=0' 基础解系：n=(←2110，n2=1-20, 正安批得a=(211,么-（兮-号号小 3、5-目号引员-（号号)-后日到整标为 售 4、与a,B均正交的向量X=(化xxx了满足Xa=XTB=0,即 +2x,+3妈+4纸=0基础解系：%=0-210，乃= ∫x+2+x3+x4=0 -30y, 则ch+ch为所求。 4
4 四、证明（略） 第四章 向量空间 一、填空 1、 2 1 , 2 1 − 2、 , T A 1 3、 1 4、-7 5、无穷多 6、 T ) 3 5 , 3 1 , 3 10 ( − 7、 2 2 + 8、 5 1 , 5 1 , 5 2 − 二、选择 1、D 2、C 3、B 4、A 5、C 6、B 7、D 8、B 9、B 10、B 三、计算 1、过渡矩阵 − − = = − 2 3 2 1 2 7 2 1 1 P A B ，坐标变换公式 Y P X −1 = 2 、 与 1 2 , 均正交的向量 ( ) T X x x x x = 1 2 3 4 满 足 1 = 2 = 0 T T X X ， 即 − + − = + + + = 3 3 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x ，基础解系： ( ) T 1 = − 2 1 1 0 ， ( ) T 2 = 1 − 2 0 1 ， 正交化得 ( ) T 3 = − 2 1 1 0 ， T = − − 1 3 2 3 4 3 1 4 。 3 、 T = − 3 2 3 2 3 1 1 ， T = − − 3 1 3 2 3 2 2 ， T = − − 3 2 3 1 3 2 3 ，坐标为 T − 3 1 3 1 5 3 4 、 与 , 均正交的向量 ( ) T X x x x x = 1 2 3 4 满 足 = = 0 T T X X ， 即 + + + = + + + = 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x ，基础解系： ( ) T 1 = 1 − 2 1 0 ， ( ) T 2 = 2 − 3 0 1 ， 则 11 22 c + c 为所求
5、D)a-bc≠02)a=Lb=c=0(3)ac+b=0,且a-bc≠0 四、证明（略） 第五章矩阵的特征值与特征向量 一、填空 1、A 2、0,1 4-1,-5,4 5、3,3,2 6、1 1、1.-25 11 8、K(4,L,-2),k为非零常数 9、6,(1,1,1) 10、0 二、选择 1、D2、C3、B4、C 5、D 6、C7、C8、D9、C10、A 三、计算 -2 2 5 45 1 4 1、1=12=2,13=-7,0= 5 0 1132-3213 J4s 2、由2E+A=0,得入=-2是A的一个特征值。4=44=2E=16,且A<0, 得4=-4，有一个特征值为4片=2一 (-111 3、由于A~B,则4=B,且4)=(B),可得a=5,b=6,P-10-2 013 40名=名=1，名=-50)名=名=2名-号 5、A"B=251-2·252+3"5 6、A的特征值为名=2=1，=4，由Aa=a,得k=2,1 (1)(3+k 或：Aa=2a,有a=Aa,即： k=2+2k 所以k=2,1 ) 3+k
5 5、（1） 0 2 1 a − bc （2） a = 1,b = c = 0 （3） 0 2 1 ac + b = ，且 0 2 1 a − bc 四、证明（略） 第五章 矩阵的特征值与特征向量 一、填空 1、 A 2、 0，1 3、 2，1 （二重） 4、 -1，-5，4 5、 3，3，2 6、 1 7、 1， 3 1 , 2 1 − 8、 K (4,1,-2), k 为非零常数 9、 6，（1，1，.,1） 10、0 二、选择 1、D 2、C 3、B 4、C 5、D 6、C 7、C 8、D 9、C 10、A 三、计算 1、 1 = 2 = 2，3 = −7， − − = 3 2 45 5 0 3 2 45 4 5 1 3 1 45 2 5 2 Q 2、由 2E + A = 0 ，得 = −2 是 A 的一个特征值。 2 16 2 A = AA = E = T ，且 A 0 ， 得 A = −4， * A 有一个特征值为 2 1 = A 。 3、由于 A ~ B ，则 A = B ，且 tr(A) = tr(B) ，可得 a = 5,b = 6， − − = 0 1 3 1 0 2 1 1 1 P 4、（1） 1 = 2 =1，3 = −5 （2） 1 = 2 = 2 5 4 3 = 5、 2 1 2 2 2 3 3 n n n A = − • + 6、A 的特征值为 1 = 2 =1，3 = 4 ，由 −1 A = ，得 k=-2，1 或： = −1 A ，有 = A ，即： + + + = k k k k 3 2 2 3 1 1 ，所以 k=-2，1