第二部分 概率与数理统计 第一章 随机事件与概率 基本要求 1.理解随机事件、随机事件的频数、频率、概率等概念 2。掌握随机事件的运算，熟练掌握概率的基本性质、概率的乘法公式及条件概率 3.掌握全概公式、贝叶斯公式，并会解有关的问题。 4.掌握求古典型概率的条件，会计算较简单的古典型概率。 同步练习 一、填空 1、设A、B、C为三个事件，则至少发生一个可以表示为 ,至多两个发生可 表示为 2、设随机事件A、B满足关系BCA,则P(A+B)= P(AB)= 3、设A、B为两个事件，P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(AB)=0.3,则P(A-B)= 若BCA,则P(A-B)=· 4、A、B是两个随机事件，且P()=0.4,P(A+B)=0.7,若A、B互不相容，则 P(B)=:若A与B相互独立，则P(B)=。 5、已知P40=0.4,P(E40=0.6,P(B)=0.5,则P(AB)=一，P(A+B)=一 6、己知P氏40=0.7，P(A-B)=0.3,则P(AB)= 7、设一次试验中，事件A发生的概率为P,又若己知三次独立试验中A至少出现一次的概 8、从数1、2、3、4中任取一个数，记为X,再从1,2.X中任取一个数，记为Y,则 PY=2}= 贝西个人租立电萄手一台密闻，已知各人能泽础的版半分别为兮名则密有能择出 的概率是 10、一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第1个零件是不合格品的概率为 B=1中位=12,3)，则3个零件中恰有2个合格的概率为一
第二部分 概率与数理统计 第一章 随机事件与概率 基本要求 1. 理解随机事件、随机事件的频数、频率、概率等概念。 2. 掌握随机事件的运算，熟练掌握概率的基本性质、概率的乘法公式及条件概率。 3. 掌握全概公式、贝叶斯公式，并会解有关的问题。 4. 掌握求古典型概率的条件，会计算较简单的古典型概率。 同步练习 一、填空 1、设 A、B、C 为三个事件，则至少发生一个可以表示为 ，至多两个发生可 表示为 。 2、设随机事件 A、B 满足关系 B A ，则 P(A + B) = ，P(AB) = 。 3、设 A、B 为两个事件，P（A）=0 .5, P(B) = 0.4, P(AB) = 0.3 ，则 P(A − B) = ， 若 B A ，则 P(A − B) = _。 4、A、B 是两个随机事件，且 P(A) = 0.4 ， P(A + B) = 0.7, 若 A、B 互不相容，则 P(B) = _ ；若 A 与 B 相互独立，则 P(B) = _ 。 5、已知 P(A) = 0.4,P(B A) = 0.6,P(B) = 0.5 ，则 P(AB) = ， P(A + B) = 。 6、已知 P(A) = 0.7,P(A − B）= 0.3 ，则 P AB ( ) = 。 7、设一次试验中，事件 A 发生的概率为 P，又若已知三次独立试验中 A 至少出现一次的概 率为 64 37 ，则 P= 。 8、从数 1、2、3、4 中任取一个数，记为 X，再从 1,2X 中任取一个数，记为 Y，则 P{Y=2}= 。 9、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 6 1 , 3 1 , 4 1 , 5 1 ，则密码能译出 的概率是 。 10、一实习生用一台机器接连独立地制造 3 个同种零件，第 i 个零件是不合格品的概率为 ( 1,2,3,) 1 1 = + = i i Pi ，则 3 个零件中恰有 2 个合格的概率为
二、单项选择 1、对任何两个随机事件都有() A、(A+B)-B=A B、(A+B)-BCA C、(A-B)+B=A D、(A-B)+BCA 2、事件A与B互为对立事件的充分条件是( A、AB=Φ B、AB=D C、AB=心且AB=DD、AB=心 3、假设事件A和B满足P()=1,则( A、A是必然事件B、P(B)=0C、AOBD、ACB 4、对于任意两事件A和B,有P(A-B)=( A、P(A)-P(B) B、P(A)-P(B)+P(AB) C、P(A)-P(AB) D、P(A)+P(B)-P(AB) 5、对于任意两事件A和B,与A+B=B不等价的是( A、ACBB、BCAC、AB=DD、AB=Φ 6、对于任意两事件A和B() A、若AB≠①，则A与B一定独立。 B、若AB≠,则A与B有可能独立 C、若AB=中，则A与B一定独立。 D、若AB=中，则A与B 一定不独立 7、3个人敲等可能地分配到4个房间的任一间去，则某一指定的房间中恰有2人的概率为 (。 3 3 9 5 A、 B、GC64D、) 8、若两个事件A和B同时出现的概率为P(AB)=0,则( A、AB是不可能事件 B、A与B为互斥事件 C、A与B为对立事件 D、AB不 定是不可能事件 9、袋中有6个白球，4个黑球，现不放回抽取两次，则第二次取得白球的概率为() 4 10、设A、B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则下列选项正确的是（ A、P(BA)>0B、P(AB)=P(A)C、P(AIB)=OD、P(AB)=PA)P(B) 三、计算 1、一袋中有10个球，其中3个白球，7个红球，现采用不放回方式从中取球两次，每次 个。求：(1)第2次才取到白球的概率。(2)第二次取到白球的概率。 2、10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，己知所取两件中有一件是不合格品，求另 一件也是不合格品的概率
二、单项选择 1、对任何两个随机事件都有（ ） A、 (A + B) − B = A B、(A + B) − B A C、 (A − B) + B = A D、(A − B) + B A 2、事件 A 与 B 互为对立事件的充分条件是（ ） A、 AB = Ф B、 AB =Ф C、 AB = Ф且 AB =Ф D、 AB =Ф 3、假设事件 A 和 B 满足 P(B A) =1 ，则（ ） A、A 是必然事件 B、 P(B A) = 0 C、 A B D、 A B 4、对于任意两事件 A 和 B，有 P(A − B) =（ ） A、 P(A) − P(B) B、 P(A) − P(B) + P(AB) C、 P(A) − P(AB) D、 P(A) + P(B) − P(AB) 5、对于任意两事件 A 和 B，与 A+ B = B 不等价的是（ ） A、 A B B、 B A C、 AB =Ф D、 AB =Ф 6、对于任意两事件 A 和 B（ ） A、若 AB Ф，则 A 与 B 一定独立。 B、若 AB Ф，则 A 与 B 有可能独立。 C、若 AB = Ф，则 A 与 B 一定独立。 D、若 AB = Ф，则 A 与 B 一定不独立。 7、3 个人被等可能地分配到 4 个房间的任一间去，则某一指定的房间中恰有 2 人的概率为 （ ）。 A、 64 3 B、 16 3 C、 64 9 D、 32 5 8、若两个事件 A 和 B 同时出现的概率为 P（AB）=0，则（ ） A、AB 是不可能事件 B、A 与 B 为互斥事件 C、A 与 B 为对立事件 D、AB 不一 定是不可能事件 9、袋中有 6 个白球，4 个黑球，现不放回抽取两次，则第二次取得白球的概率为（ ） A、 5 3 B、 3 2 C、 9 4 D、 3 1 10、设 A、B 互不相容，且 P(A) 0, P(B) 0 ，则下列选项正确的是（ ） A、P(B A) 0 B、P(AB) = P(A) C、 P(A | B) = 0 D、P(AB) = P(A)P(B) 三、计算 1、一袋中有 10 个球，其中 3 个白球，7 个红球，现采用不放回方式从中取球两次，每次 1 个。求：（1）第 2 次才取到白球的概率。（2）第二次取到白球的概率。 2、10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另 一件也是不合格品的概率
3、某种玻璃工艺品对温度的要求很高，制造成功率仅为0.15，试计算必须作多少件，才能 使其中至少有一件合格品的概率不小于0.9？ 一个人负责维修三台设备。在一段时间内三台独立运行的设备因故障需要维修的概率分 别为0.1,0.2,0.15，求这段时间内(1)没有一台设备需要维修的概率。(2)至少一台设备 需要维修的概率。(3)至多一台设各需要维修的概率。 5、某食品包装流水线最后一道工序是在外包装上打印日期标志，此项工作由甲、乙两人承 担，他们对日期的漏打率分别是3%，2%，已知经过两人的食品外包装件数之比为8：10 ()任意抽查 F严品 发现外包装上无日期的概率是多少 (2)这件无日期标志的产品是乙漏打的概率是多少？ 6、假设有两箱同种零件，第一箱内装50件，其中10件一等品，第二箱内装30件，其中 18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后取出两个零件（取出的零件均 不放回)。试求(1)先取出的零件是一等品的概率α。(2)在先取出的零件是一等品的条 件下，第二次取出的仍然是一等品的条件概率B 7、设一家工厂生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调 试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品。现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假 设各台仪器的生产过程相互独立)。求(1)全部能出厂的概率：(2)其中恰有2台不能 出厂的概率B:(3)其中至少有2台不能出厂的概率日。 8、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设每箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1， 一顾客欲购一箱，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则 买下该箱玻璃杯，否则退回。求：(1)顾客买下该箱的概率：(2)在顾客买下的一箱中确实 没有残次品的概率 四、证明 1、设A、B为两个随机事件，0<P(B)<1,且P(AB)=P(AB).证明：A与B相互独立。 2、设A、B为两个随机事件，且均有正概率。证明：“A、B互不相容”与“A、B相互独 立不能同时成立 3、设P(A)>0,证明：P(B10≥1-P P(A) 第二章 随机变量的分布和数字特征 基本要求 1.理解随机变量的概率分布、概率密度、分布函数、随机变量函数的分布等概念。 2。理解期望、方差、标准差的概念。已知随机变量的分布，会求期望与方差。会求 随机变量函数的期望。 3.会求简单随机变量函数的分布 4.熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布及它们的期望与方差。正态分
3、某种玻璃工艺品对温度的要求很高，制造成功率仅为 0.15 ，试计算必须作多少件，才能 使其中至少有一件合格品的概率不小于 0.9 ？ 4、一个人负责维修三台设备。在一段时间内三台独立运行的设备因故障需要维修的概率分 别 为 0.1,0.2,0.15 ，求这段时间内（1）没有一台设备需要维修的概率。（2）至少一台设备 需要维修的概率。（3）至多一台设备需要维修的概率。 5、某食品包装流水线最后一道工序是在外包装上打印日期标志，此项工作由甲、乙两人承 担，他们对日期的漏打率分别是 3%，2%，已知经过两人的食品外包装件数之比为 8：10 （1）任意抽查一件产品，发现外包装上无日期的概率是多少？ （2）这件无日期标志的产品是乙漏打的概率是多少？ 6、假设有两箱同种零件，第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品，第二箱内装 30 件，其中 18 件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后取出两个零件（取出的零件均 不放回）。试求（1）先取出的零件是一等品的概率 。（2）在先取出的零件是一等品的条 件下，第二次取出的仍然是一等品的条件概率 。 7、设一家工厂生产的每台仪器，以概率 0.7 可以直接出厂，以概率 0.3 需进一步调试，经调 试后以概率 0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格品。现该厂新生产了 n (n 2) 台仪器（假 设各台仪器的生产过程相互独立）。求（1）全部能出厂的概率 ；（2）其中恰有 2 台不能 出厂的概率 ；（3）其中至少有 2 台不能出厂的概率 。 8、玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设每箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 0.8,0.1,0.1， 一顾客欲购一箱，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看 4 只，若无残次品，则 买下该箱玻璃杯，否则退回。求；（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中确实 没有残次品的概率。 四、证明 1、设 A、B 为两个随机事件， 0 P(B) 1,且P(AB) = P(AB) 。证明：A 与 B 相互独立。 2、设 A、B 为两个随机事件，且均有正概率。证明：“A、B 互不相容”与“A、B 相互独 立不能同时成立。 3、设 P(A) 0 ，证明： ( ) ( | ) 1 ( ) P B P B A P A − 第二章 随机变量的分布和数字特征 基本要求 1. 理解随机变量的概率分布、概率密度、分布函数、随机变量函数的分布等概念。 2. 理解期望、方差、标准差的概念。已知随机变量的分布，会求期望与方差。会求 随机变量函数的期望。 3. 会求简单随机变量函数的分布。 4. 熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布及它们的期望与方差。正态分
布会查表。 同步练习 一、填空 人已如随机交量X只酸取-1012因个量值，其相应的版半发次为之名之忌则 C=_ 2者随机变量X的餐率分布为X35 则它的分布函数F(x)在 P111 x=4时值为 236 3、设随机变量X的分布函数 「0x<-1 0.4-1≤x<1 F(x)= 081sx<3则X的分布律为 x23 4、设f（x)= 1* 0≤x≤1是随机变量X的概率密度函数，则c一 其它 5、在线型简机支量X的分布活数药F=4+>0其中>0为常数。则 0x≤0 A=_ ,B= 6、设随机变量X服从参数为入的泊松分布，且P(X=1}=PX=2},则元= 7、设随机变量X服从1,5上的均匀分布，则当x1<1<x2<5时，P{x1≤X≤x2}=一 当1<x<5<x,时，P{≤X≤x2}= 8、X~N(2,o2),且P2<x<4}=0.3,则P<0= 9、设随机变量X~B2,p).Y-B3,p),若PX≥-，则Py≥= 「-1X<0 10、设随机变量X在区间[-1,2】上服从均匀分布，随机变量Y={0X=0,则Y的方 1X>0 差D(Y)= 单面法择 1、设F(x)是随机变量X的分布函数，那么当X是（ )随机变量时，有 P(x1≤X≤x2)=F(x)-F(x) A、任意B、个别离散型C、离散型D、连续型
布会查表。 同步练习 一、填空 1、已知随机变量 X 只能取 −1,0,1,2 四个数值，其相应的概率依次为 c c c 16c 2 , 8 5 , 4 3 , 2 1 ，则 c = 。 2、若随机变量 X 的概率分布为 则它的分布函数 F(x) 在 x = 4 时值为 。 3、设随机变量 X 的分布函数 − − = 1 3 0.8 1 3 0.4 1 1 0 1 ( ) x x x x F x ，则 X 的分布律为 。 4、设 = + 0 其它 0 1 ( ) 1 2 x x c f x 是随机变量 X 的概率密度函数，则 c = 。 5、连续型随机变量 X 的分布函数为 + = − 0 0 0 ( ) x A Be x F x x ，其中 0 为常数，则 A = ， B = 。 6、设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 P{X = 1} = P{X = 2} ，则 = 。 7、设随机变量 X 服从[1，5]上的均匀分布，则当 x1 1 x2 5时， { } 1 2 P x X x = ； 当 1 x1 5 x2时， { } 1 2 P x X x = 。 8、 X ~ N(2, 2 ),且 P2 x 4= 0.3,则Px 0= 。 9、设随机变量 X ~ B(2, p) ，Y ~ B(3, p) ，若 9 5 P{X 1} = ，则 P{Y 1}= 。 10、设随机变量 X 在区间[-1，2]上服从均匀分布，随机变量 = − = 1 0 0 0 1 0 X X X Y ，则 Y 的方 差 D（Y）= 。 二、单项选择 1、设 F（ x ）是随机变量 X 的分布函数，那么当 X 是（ ）随机变量时，有 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 P x X x = F x − F x A、任意 B、个别离散型 C、离散型 D、连续型 X 1 3 5 P 2 1 3 1 6 1
2、设随机变量X的分布函数为F(x),在下列概率中可表示为 F(a)-F(a-0)的是(). A、P(Xsa;B、P{X>aC、P{X=a;D、P(X≥a) 3、设随机变量X的概率密度函数为∫，(x),y=-2x+3的概率密度函数为() A-.-)B)c-生)D."生 2 4、X~N(4,σ)，则随σ的增大，P-川<G}是() A、单调增加B、单调减少C、保持不变D、非单调变化 5、设随机变量X~N(3,2),则使pX>a)=P(X<a)成立的a=() A、0B、1C、2D、3 6、设随机变量X-f=0,1ex>0,则E2X+1)=( 10x≤0 A、1.2B、41C、21D、36 7、X为随机变量，EX=-1,DX=3,则E(X2+2)小() A、18B、9C、30D、36 8、已知连续型随机变量X的密度函数f(x)是偶函数，即fx)=f-x),F(x)是X的分布 函数，则对任意实数c都有F(-c)=( A、Fa)B.2-fxdc、2F@-lD.l-Sfh 9、设X是随机变量，EX=4,DY=G2,则对任意常数C,必有( A、E(X-c)2=EX2-c2 B、E(X-c)}=E(X-4) C、E(X-c)2<E(X-)2 D、E(X-c)2≥E(X-)2 10、设X-N,),密度函数fx),分布函数记为F(x),则() A、P(X≤0)=P(X20)=0.5 B、f(x)=f(-x),x∈(-o,+o) C、P(X≤1)=P(X≥1)=0.5 D、F(x)=1-F(-xx∈(-0，+o) 三、计算 X-123 1、设随机变量x的分布律为P仔行日
2、设随机变量 X 的分布函数为 F（ x ），在下列概率中可表示为 F(a) − F(a − 0) 的是（ ）。 A、 P{X a} B、 P{X a} C、 P{X = a} D、 P(X a) 3、设随机变量 X 的概率密度函数为 f x (x), y = −2x + 3 的概率密度函数为（ ） A、 ) 2 3 ( 2 1 − − − y f x B、 ) 2 3 ( 2 1 − − y f x C、 ) 2 3 ( 2 1 + − − y f x D、 ) 2 3 ( 2 1 + − y f x 4、 X ~ ( , ) 2 N ，则随 的增大， Px − 是（ ） A、单调增加 B、单调减少 C、保持不变 D、非单调变化 5、设随机变量 X ~ (3,2 ) 2 N ，则使 p(X a) = P(X a)成立的a =（ ） A、0 B、1 Ｃ、２ Ｄ、３ ６、设随机变量 X ~ = − 0 0 0.1 0 ( ) 0.1 x e x f x x ，则 E(2X +1) ＝（ ） Ａ、 1.2 Ｂ、４１ Ｃ、21 D、36 7、X 为随机变量， EX = −1, DX = 3 ，则 3( 2) 2 E X + =（ ） A、18 B、9 C、30 D、36 8、已知连续型随机变量 X 的密度函数 f (x) 是偶函数，即 f (x) = f (−x), F(x) 是 X 的分布 函数，则对任意实数 c都有F(−c)=（ ） Ａ、 F(c) Ｂ、 − c f x dx 0 ( ) 2 1 Ｃ、 2F(c) −1 Ｄ、 − c f x dx 0 1 ( ) ９、设Ｘ是随机变量， 2 EX = ,DX = ，则对任意常数 c ，必有（ ） Ａ、 2 2 2 E(X − c) = EX − c Ｂ、 2 2 E(X − c) = E(X − ) Ｃ、 2 2 E(X − c) E(X − ) Ｄ、 2 2 E(X − c) E(X − ) １０、设 X ~ N(1,1) ，密度函数 f (x) ，分布函数记为 F(x) ，则（ ） Ａ、 P(X 0) = P(X 0) = 0.5 Ｂ、 f (x) = f (−x), x (−,+) Ｃ、 P(X 1) = P(X 1) = 0.5 Ｄ、 F(x) = 1− F(−x), x (−,+) 三、计算 １、设随机变量Ｘ的分布律为 X -1 2 ３ P 4 1 2 1 4 1