《经济数学基础》课程PPT教学课件（概率统计）第三章 多维随机变量及其分布 第4节 随机变量的独立性

第三章 随机变量及其分布 随机变量的独立性 §4随机变量的独立性 设(X,Y)是二维随机变量，其联合分布函数为 F(x,y),又随机变量X的分布函数为Fx(x), 随机变量Y的分布函数为F(y).如果对于任意 的x,y,有 F(x,y)=Fx(x).F,(y) 则称X,Y是相互独立的随机变量. [合】返回主目录

随机变量的独立性 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 则称 ， 是相互独立的随机变量． ， 的 ， ，有 随机变量 的分布函数为 ．如果对于任意 ， ，又随机变量 的分布函数为 ， 设 ， 是二维随机变量，其联合分布函数为 X Y F x y F x F y x y Y F y F x y X F x X Y X Y Y X =  第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 返回主目录

第三章随机变量及其分布 说明 §4随机变量的独立性 (1).由于 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} 以及F(x)=PX≤xF(y)=PY≤y} 可知，随机变量X与Y相互独立，实际上是指： 对于任意的x,y,随机事件 {X≤x}与Y≤y} 相互独立. 合】返回主目录

说 明 F(x， y) = PX  x， Y  y ⑴．由于 以及 FX (x) = PX  x， FY (y)= PY  y 可知，随机变量X 与Y 相互独立，实际上是指：     相互独立． 与 对于任意的 ， ，随机事件 X x Y y x y   第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 返回主目录

第三章 随机变量及其分布 说明 §4随机变量的独立性 (2).如果随机变量X与Y相互独立，则由 F(x,y)=Fx(x)F(y) 可知， 二维随机变量(X,Y)的联合分布 函数F(x,)可由其边缘分布函数 Fx(x)与F,()唯一确定. 合】返回主目录

说 明 ⑵．如果随机变量X 与Y 相互独立，则由 F(x y) F (x)F (y) ， = X Y 可知， ( ) ( ) ( )与 ( )唯一确定． 函数 ， 可由其边缘分布函数 二维随机变量 ， 的联合分布 F x F y F x y X Y X Y 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 返回主目录

第三章 随机变量及其分布 例1 §4随机变量的独立性 浴二源企雪(X'人)的联号出芈犀熟沪 e心小怎+um足+m9 -00<X<+00-0<<+0) 刺腱X户人晋显粗耳师牙 畦： X的师馨出ㄓ尿新沪 合】返回主目录

例 1 解： 设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为 ( )        +      = + 10 arctan 5 2 arctan 2 1 2 x y F x y    ， (−  x  +， −  y  +) 试判断X 与Y是否相互独立？ X 的边缘分布函数为 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 返回主目录

第三章 随机变量及其分布 例1（续） §4随机变量的独立性 飞()=四(：) =+uau足-aa9 很a别 (x∈(o:+o) 人的师罄出犀熟)沪 十●● 玉0)=四飞() (→+0 = 合 返回主目录

例 1（续）        +      = + →+ 10 arctan 5 2 arctan 2 1 lim 2 x y y          = + 5 arctan 2 1  x  ( x(−， +) ) F (x) F(x y) y X ， →+ = lim Y 的边缘分布函数为 F (y) F(x y) x Y ， →+ = lim        +      = + →+ 10 arctan 5 2 arctan 2 1 lim 2 x y x    第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 返回主目录