1.行秩、列秩、矩阵的秩 四.矩阵的秩 2.矩阵秩的求法 3.向量组的秩的求法 1.行秩、列秩、矩阵的秩 4.矩阵秩的性质 5.矩阵秩与行列式的关系 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。 定义1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩； 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 113 1 0 2 -1 4 例如：矩阵A= 0 0 0 5 的行向量组是 00 0 0 a1=(1,1,3,1) 2=(0,2,-1,4) 03=(0,0,0,5) 4=(0,0,0,0)
1 四. 矩阵的秩 1.行秩、列秩、矩阵的秩 2.矩阵秩的求法 3.向量组的秩的求法 4.矩阵秩的性质 1. 行秩、列秩、矩阵的秩 5.矩阵秩与行列式的关系 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。 定义1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 例如：矩阵 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 0 0 0 0 A − = 的行向量组是 1 2 3 4 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) (0,0,0,0) = = − = =
可以证明，ac1,C2,C3是A的行向量组的一个极大无关组， 因为，由ka1+k2c2+k303=0 即k(1,1,3,1)+k2(0,2,-1,4)+k3(0,0,0,5) =(k1,k1+2k2,3k1-k2,k1+4k2+5k3) =(0,0,0,0) 可知k1=k2=k3=0,即01，C2,03线性无关； 而4为零向量，包含零向量的向量组线性无关， ∴.01，C2,03,C4线性相关。 所以向量组01,2,03，C4的秩为3， 所以矩阵A的行秩为3。 2
2 可以证明， 1 2 3 , , 是A的行向量组的一个极大无关组， 因为，由 1 1 2 2 3 3 k k k + + = 0 即 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) ( , 2 ,3 , 4 5 ) (0,0,0,0) k k k k k k k k k k k + − + = + − + + = 可知 1 2 3 k k k === 0, 即 1 2 3 , , 线性无关； 而 4 为零向量，包含零向量的向量组线性无关， 1 2 3 4 , 线性相关。 所以向量组 1 2 3 4 , 的秩为3， 所以矩阵A的行秩为3
矩阵A的列向量组是 3 B,= 0 ,B2= 0 ,月3= -0 ,B4= 45 0 0 0 0 可以验证B1,B2,B4线性无关， 面月-A-+0A, 所以向量组B,B2,B3,乃4的一个极大无关组是B,P2,P, 所以向量组B1,B2,B3,B4的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3。 3
3 矩阵A的列向量组是 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 , , , 0 0 0 5 0 0 0 0 − = = = = 可以验证 1 2 4 , , 线性无关， 而 3 1 2 4 7 1 0 2 2 = − + 所以向量组 1 2 3 4 , 的一个极大无关组是 1 2 4 , , 所以向量组 1 2 3 4 , 的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3
问题：矩阵的行秩矩阵的列秩 引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 (列) (列) 01 证：把Anxn按行分块，设Amxm= 2 (1)对换矩阵A的两行 A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 (2)用非零常数k乘以A的第行 4
4 问题：矩阵的行秩 ? ＝ 矩阵的列秩 引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 （列） （列） 证：把 A m n 按行分块，设 1 2 m n m A = （1）对换矩阵A的两行 A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 （2）用非零常数k乘以A的第i行
A= Cc; k入 ka =A2 显然，向量组C1,.,k,.,Cm 可以由向量组c1,.,C,.,0必m 线性表示； 而向量组01，.，0，Cm 也可以由向量组a1,.,kC,.,Cm线性表示。 所以矩阵A的行向量组与A,的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩， ∴.A的行秩=A,的行秩，即A的行秩不变。 5
5 1 1 2 i kr i i m m A A k = ⎯⎯→ = 显然，向量组 1 , , , , i m k 可以由向量组 1 , , , , i m 线性表示； 而向量组 1 , , , , i m 也可以由向量组 1 , , , , i m k 线性表示。 所以矩阵 A 的行向量组与 A2 的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩， A的行秩＝ A2 的行秩，即A的行秩不变