第五章图与网络模型及方法 §1概论 图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736年发表的“哥尼 斯堡的七座桥”。1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857 年，凯莱在计数烷CH2a2的同分异构物时，也发现了“树”。哈密尔顿于1859年提 出“周游世界”游戏，田图论的术语，或是如何找出一个连通图中的生成圈、近几十年 来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和 方法己经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、运筹学，生物遗传学、心理学、经济 学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示 这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到 了描述这个图信的何图论为n包含对该 理 座析 B 图1哥尼斯堡七桥问题 当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解 决这个问题，采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座 桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图” 问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特 点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将 这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问 题而且开创图论究的先河 一个经典和 问题涉及经 search 科学与 血要的 下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问和配问题等都 是图与网络的基本问题， 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。 例1最短路问题(SPp一shortest path problem) 名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的 公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运 行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 某地区有者个注安选市，现准各修建高速公路起这华发市连花起米，使的证
-68- 第五章 图与网络模型及方法 §1 概论 图论起源于 18 世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于 1736 年发表的“哥尼 斯堡的七座桥”。1847 年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857 年，凯莱在计数烷CnH2n+2 的同分异构物时，也发现了“树”。哈密尔顿于 1859 年提 出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈、近几十年 来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和 方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、运筹学，生物遗传学、心理学、经济 学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示 这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到 了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了 一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问 题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结 起来，问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。 图 1 哥尼斯堡七桥问题 当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解 决这个问题，采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座 桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。 问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特 点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将 这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问 题，而且开创了图论研究的先河。 图与网络是运筹学（Operations Research）中的一个经典和重要的分支，所研究的 问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等 诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都 是图与网络的基本问题。 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。 例 1 最短路问题（SPP－shortest path problem） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的 公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运 行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 例 2 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其
中任何 例3 ment problem 成顶任条，每人一顶 使总回报最大？ 例4中国邮递员问题(Cpp一chinese postman problem) 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设计一条最短的投递路线（从 邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回邮局)？由于这一问题是我国管 梅谷教授1960年首先提出的，所以国际上称之为中因邮递员问题。 例5 之为旅行商问题 例 种原材料有M个产地，现在需要将原材料从产地运往N个使用这些原材料的工 厂。假定M个产地的产量和N家工厂的需要量已知，单位产品从任一产地到任一工厂 的运费己知，那么如何安排运输方案可以使总运输成本最低？ 上述问题有两个共同的特点：一是它们的目的都是从若干可能的安排或方案中寻求 某种意义下的最优安排或方案，数学上把这种问题称为最优化或优化(optimization) 可题； 是它们都易于用图形的形式直观地描述和表达，数学上把这种与图相关的结构 称为网络(network)。与图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或构 网络优 所 ,上面例子中 )为研究的对多 网络 §2图与网络的基本概念 2.1无图 个无向图(undirected graph)G是由一个非空有限集合V(G)和'(G)中某些元素 的无序对集合E(G)构成的二元组，记为G=(V(G),E(G)。其中 V(G)={,2,v,}称为图G的顶点集(vertex set)或节点集(node set,V(G)中 的每一个元素v,i=l,2.,n)称为该图的一个顶点(vertex)或节点(node): E(G)={e,e2,en}称为图G的边集(edge set),E(G)中的每一个元素e,(卿V(G) 中某两个元素y,y,的无序对)记为e=(y,y)或e=y,=yy,(k=1,2,m) 被称为该图的一条从y,到y,的边(edgc)。 当边e=,y,时，称y,为边e:的端点，并称y,与y相邻(adjacent):边e称 为与顶点y,',关联(incident)。如果某两条边至少有一个公共端点，则称这两条边在 图G中相 边上赋权的无向图称为赋权无向图或无向网络(undirected network)。我们对图和 网络不作严格区分， 因为任何图总是可以赋权的 -69-
-69- 中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任意两 个城市之间修建高速公路的成本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路，使得总 成本最小？ 例 3 指派问题（assignment problem） 一家公司经理准备安排 N 名员工去完成 N 项任务，每人一项。由于各员工的特点 不同，不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。如何分配工作方案可以 使总回报最大？ 例 4 中国邮递员问题（CPP－chinese postman problem） 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设计一条最短的投递路线（从 邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回邮局）？由于这一问题是我国管 梅谷教授 1960 年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题。 例 5 旅行商问题（TSP－traveling salesman problem） 一名推销员准备前往若干城市推销产品。如何为他（她）设计一条最短的旅行路线 （从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地）？这一问题的研究历史十分悠 久，通常称之为旅行商问题。 例 6 运输问题（transportation problem） 某种原材料有 M 个产地，现在需要将原材料从产地运往 N 个使用这些原材料的工 厂。假定 M 个产地的产量和 N 家工厂的需要量已知，单位产品从任一产地到任一工厂 的运费已知，那么如何安排运输方案可以使总运输成本最低？ 上述问题有两个共同的特点：一是它们的目的都是从若干可能的安排或方案中寻求 某种意义下的最优安排或方案，数学上把这种问题称为最优化或优化（optimization） 问题；二是它们都易于用图形的形式直观地描述和表达，数学上把这种与图相关的结构 称为网络（network）。与图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或称网络优化 （netwok optimization）问题。所以上面例子中介绍的问题都是网络优化问题。由于多 数网络优化问题是以网络上的流（flow）为研究的对象，因此网络优化又常常被称为网 络流（network flows）或网络流规划等。 下面首先简要介绍图与网络的一些基本概念。 §2 图与网络的基本概念 2.1 无向图 一个无向图(undirected graph)G 是由一个非空有限集合V (G) 和V (G) 中某些元素 的无序对集合 E(G) 构成的二元组，记为 G = (V (G),E(G)) 。其中 ( ) { , , , } 1 2 n V G = v v L v 称为图G 的顶点集（vertex set）或节点集（node set）， V(G) 中 的每一个元素 v (i 1,2, ,n) i = L 称为该图的一个顶点（vertex）或节点（node）； ( ) { , , , } 1 2 m E G = e e L e 称为图G 的边集（edge set），E(G) 中的每一个元素 k e (即V(G) 中某两个元素 i j v ,v 的无序对) 记为 ( , ) k i j e = v v 或 k i j j i e = v v = v v (k =1,2,L,m) ， 被称为该图的一条从 i v 到 j v 的边（edge）。 当边 k i j e = v v 时，称 i j v ,v 为边 k e 的端点，并称 j v 与 i v 相邻（adjacent）；边 k e 称 为与顶点 i j v ,v 关联（incident）。如果某两条边至少有一个公共端点，则称这两条边在 图G 中相邻。 边上赋权的无向图称为赋权无向图或无向网络（undirected network）。我们对图和 网络不作严格区分，因为任何图总是可以赋权的
个图称为有限图，如果它的顶点集和边集都有限。图G的顶点数用符号V或 (G)表示，边数用引E引或(G)表示。 当过论的图口有 个时，总是用G来表示这个图。从而在图论符号中我们常略去 字母G,例如，分别用V,E,y和代替V(G,E(G),(G)和(G) 端点重合为 个图 环 有向图 ,如果它既没有环也没有两条边连接同一对顶点。 22 个有向图(di cted graph或dig nh)G是由一个非空有限集合V和V中 某些元素的有序对集合A构成的 元组，记为G=(W,40。其中V={，2，.，v,}称 为图G的顶点集或节点集，V中的每一个元素y,(i=1,2,.,n)称为该图的一个顶点 或节点：A={a,a,an}称为图G的弧集(are set),A中的每一个元素a(即V中 某两个元素y,Y,的有序对)记为a=(y,y,)或a=yy,(k=1,2,.,n),被称为该图 的一条从y,到y,的弧(ac)。 当弧a=vy,时，称y,为a,的尾(tail),y,为a的头(head),并称弧a为y,的 出弧(outgoing arc),为y,的入弧(incoming arc)。 对于它的每个边，给 点指定 个顺序，从而确定 条弧，由此得到 样的有向图称为G的一个定 23完全图 一分分图 每一对不同的顶点都有一条边相连的简单图称为完全图(complete graph)。n个顶点 的完全图记为K。 若V(G)=XUY,X∩Y=Φ，XIY卡0（这里|X表示集合X中的元素个 数)，X中无相邻项点对，Y中亦然，则称G为二分图((bipartite graph):特别地，若 x∈X,y∈Y,则xy∈E(G),则称G为完全二分图，记成Kw。 24子图 图H叫做图G的子图(subgraph),记作HcG,如果V(H)cV(G) E(H)CE(G)。若H是G的子图，则G称为H的母图 G的支撑子图(spanning subgraph,又成生成子图)是指满足V(H)=/(G)的子 图H。 25顶点的度 设v∈V(G),G中与v关联的边数（每个环算作两条边）称为v的度(degree),记 作d().若d(v)是奇数，称v是奇顶点(odd point)):d(v)是偶数，称v是偶顶点(eve point)。 关于顶点的度， 我们有如下结果 0∑d(v)-2 (D任意一个图的奇顶点的个数是偶数。 2.6图与网络的数据结构 -70
-70- 一个图称为有限图，如果它的顶点集和边集都有限。图G 的顶点数用符号|V | 或 ν (G) 表示，边数用| E |或ε (G)表示。 当讨论的图只有一个时，总是用G 来表示这个图。从而在图论符号中我们常略去 字母G ，例如，分别用V,E,ν 和ε 代替V (G),E(G),ν (G) 和ε (G)。 端点重合为一点的边称为环(loop)。 一个图称为简单图(simple graph)，如果它既没有环也没有两条边连接同一对顶点。 2.2 有向图 定义 一个有向图（directed graph 或 digraph）G 是由一个非空有限集合V 和V 中 某些元素的有序对集合 A 构成的二元组，记为G = (V, A)。其中 { , , , } 1 2 n V = v v L v 称 为图G 的顶点集或节点集， V 中的每一个元素 v (i 1,2, ,n) i = L 称为该图的一个顶点 或节点； { , , , } A = a1 a2 L am 称为图G 的弧集（arc set），A 中的每一个元素ak (即V 中 某两个元素 i j v ,v 的有序对) 记为 ( , ) k i j a = v v 或a v v (k 1,2, ,n) k = i j = L ，被称为该图 的一条从 i v 到 j v 的弧（arc）。 当弧 k i j a = v v 时，称 i v 为ak 的尾（tail）， j v 为ak 的头（head），并称弧ak 为 i v 的 出弧（outgoing arc），为 j v 的入弧（incoming arc）。 对应于每个有向图 D ，可以在相同顶点集上作一个图G ，使得对于 D 的每条弧， G 有一条有相同端点的边与之相对应。这个图称为 D 的基础图。反之，给定任意图G ， 对于它的每个边，给其端点指定一个顺序，从而确定一条弧，由此得到一个有向图，这 样的有向图称为G 的一个定向图。 以下若未指明“有向图”三字，“图”字皆指无向图。 2.3 完全图、二分图 每一对不同的顶点都有一条边相连的简单图称为完全图(complete graph)。n 个顶点 的完全图记为 Kn 。 若V (G) = X UY ， X IY = Φ ，| X ||Y |≠ 0（这里| X |表示集合 X 中的元素个 数）， X 中无相邻顶点对，Y 中亦然，则称G 为二分图(bipartite graph)；特别地，若 ∀x ∈ X,∀y ∈Y ，则 xy ∈ E(G)，则称G 为完全二分图，记成 K|X |,|Y | 。 2.4 子图 图 H 叫做图 G 的子图（subgraph），记作 H ⊂ G ，如果 V (H ) ⊂V (G) ， E(H) ⊂ E(G) 。若 H 是G 的子图，则G 称为 H 的母图。 G 的支撑子图（spanning subgraph，又成生成子图）是指满足V(H) =V(G) 的子 图 H 。 2.5 顶点的度 设v ∈V (G) ，G 中与v 关联的边数（每个环算作两条边）称为v 的度(degree)，记 作d(v)。若d(v)是奇数，称v 是奇顶点(odd point)；d(v)是偶数，称v 是偶顶点(even point)。关于顶点的度，我们有如下结果： (i) ∑∈ = v V d(v) 2ε (ii) 任意一个图的奇顶点的个数是偶数。 2.6 图与网络的数据结构
网络优化研究的是网络上的各种优化模型与算法。为了在计算机上实现网络优化的 网的且休表 绍计 肌上用来描述图与 用表 在 构的 个简单 向图，n,A上m ,并假设 先 顶点用自然 1 表示或 4中 用自然数1, ,m 编号 对于有多重边或无向网络的情 况，我们只 论完 单有向图的表示方法之后，给出一些说明 郊接矩阵是如下定义的：C y的形式存储在计算机中.图 C=(cr)nxn∈{0，l}, 1,(,)∈A C= 10.(i.）EA 也就是说，如果两节点之间有一条弧，则邻接矩阵中对应的元素为1：否则为0： 可以看出 这种 非常 ,只有 非零 中查找弧的时间 图2有向图 例7对于图2所示的有向图，可以用邻接矩阵表示为 01100 00010 01000 00101 00110 只是此时一 用多个矩阵表示这些权 关联矩阵表示法是将图以关联矩阵(incidence matrix)的形式存储在计算机中.图 G=(W,A)的关联矩阵B是如下定义的：B是一个n×m的矩阵，即 B=(b)mm∈{-l0,1} -71
-71- 网络优化研究的是网络上的各种优化模型与算法。为了在计算机上实现网络优化的 算法，首先我们必须有一种方法（即数据结构）在计算机上来描述图与网络。一般来说， 算法的好坏与网络的具体表示方法，以及中间结果的操作方案是有关系的。这里我们介 绍计算机上用来描述图与网络的 5 种常用表示方法：邻接矩阵表示法、关联矩阵表示法、 弧表表示法、邻接表表示法和星形表示法。在下面数据结构的讨论中，我们首先假设 G = (V, A)是一个简单有向图，|V |= n,| A |= m ，并假设V 中的顶点用自然数1,2,L,n 表示或编号， A 中的弧用自然数1,2,L,m 表示或编号。对于有多重边或无向网络的情 况，我们只是在讨论完简单有向图的表示方法之后，给出一些说明。 （i）邻接矩阵表示法 邻接矩阵表示法是将图以邻接矩阵（adjacency matrix）的形式存储在计算机中。图 G = (V, A)的邻接矩阵是如下定义的：C 是一个n × n 的0 −1矩阵，即 n n ij n n C c × = ( ) × ∈{0,1} ， ⎩ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = 0, ( , ) . 1, ( , ) , i j A i j A cij 也就是说，如果两节点之间有一条弧，则邻接矩阵中对应的元素为 1；否则为 0。 可以看出，这种表示法非常简单、直接。但是，在邻接矩阵的所有 2 n 个元素中，只有m 个为非零元。如果网络比较稀疏，这种表示法浪费大量的存储空间，从而增加了在网络 中查找弧的时间。 图 2 有向图 例 7 对于图 2 所示的有向图，可以用邻接矩阵表示为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 同样，对于网络中的权，也可以用类似邻接矩阵的n × n 矩阵表示。只是此时一条 弧所对应的元素不再是 1，而是相应的权而已。如果网络中每条弧赋有多种权，则可以 用多个矩阵表示这些权。 （ii）关联矩阵表示法 关联矩阵表示法是将图以关联矩阵（incidence matrix）的形式存储在计算机中．图 G = (V, A)的关联矩阵 B 是如下定义的： B 是一个n × m 的矩阵，即 n m B bik n m × = ( ) × ∈{−1,0,1}
1,eV,k=(亿，)∈A b4={-1,3j∈V,k=(j,)eA 0.其它 也就是说，在关联矩阵中，每行对应于图的个节点，每列对应天 一条弧。如 的元素为0 对应的元素为 应的 则关联矩 + 1) 这 法也 个非零元所有 个为非零元 小里网络比较稀疏 示法也会浪费大量 关联矩阵有许多特别重要的理论性质， 这种表不化中是 重的令 例8对于例7所示的图，如果关联矩阵中每列对应弧的顺序为(1,2)，（，3)，(2.4， (3,2),(4,3),(4,5),(5,3)和(5,4)，则关联矩阵表示为 1 1000000 -101-10000 0 -10 1-10-10 00-10 10-1 00000-11 1 同样，为 中的 也可以通过 联矩 的扩展来表示 如果网络中 每条弧有 所 所对如 ,我们可以 应的 矩阵增加相应的 ，把每 ()弧表表示 弧表表示法将图以弧表(arc list)的形式存储在计算机中。所谓图的弧表，也就是 图的弧集合中的所有有序对。弧表表示法直接列出所有弧的起点和终点，共需2m个有 储单元，因此当网络比较稀疏时比较方便。此外，对于网络图中每条弧上的权，也要对 应地用额外的存储单元表示。例如，例7所示的图，假设弧(1,2)，(1,3)，(2,4，(3,2)， (4,3),(4,5),(5,3)和(54)上的权分别为8,9,6,4,0,3,6和7，则弧表表示如表1 所示。 112 445 5 4 权896■4 0☐36 为了便于检索，一般按照起点、终点的字典序顺序存储弧表，如上面的弧表就是按 照这样的顺序存储的。 (iv)邻接表表示法 邻接表表示法将图以邻接表(adjacency lists)的形式存储在计算机中。所谓图的 接表，也就是图的所有节点的邻接表的集合：而对每个节点， 的邻接衣是它的月 有出 :表表不法就 是对图的每个 节点，用 单向链表列出从该节点 .J 组表示。例如 所示的图， -72
-72- ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ∃ ∈ = ∈ ∃ ∈ = ∈ = 0, . 1, , ( , ) , 1, , ( , ) , 其它 j V k j i A j V k i j A bik 也就是说，在关联矩阵中，每行对应于图的一个节点，每列对应于图的一条弧。如 果一个节点是一条弧的起点，则关联矩阵中对应的元素为 1；如果一个节点是一条弧的 终点，则关联矩阵中对应的元素为 −1；如果一个节点与一条弧不关联，则关联矩阵中 对应的元素为 0。对于简单图，关联矩阵每列只含有两个非零元（一个 +1，一个 −1）。 可以看出，这种表示法也非常简单、直接。但是，在关联矩阵的所有nm 个元素中，只 有2m 个为非零元。如果网络比较稀疏，这种表示法也会浪费大量的存储空间。但由于 关联矩阵有许多特别重要的理论性质，因此它在网络优化中是非常重要的概念。 例 8 对于例 7 所示的图，如果关联矩阵中每列对应弧的顺序为(1,2)，(1,3)，(2,4)， (3,2)，(4,3)，(4,5)，(5,3)和(5,4)，则关联矩阵表示为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 同样，对于网络中的权，也可以通过对关联矩阵的扩展来表示。例如，如果网络中 每条弧有一个权，我们可以把关联矩阵增加一行，把每一条弧所对应的权存储在增加的 行中。如果网络中每条弧赋有多个权，我们可以把关联矩阵增加相应的行数，把每一条 弧所对应的权存储在增加的行中。 （iii）弧表表示法 弧表表示法将图以弧表（arc list）的形式存储在计算机中。所谓图的弧表，也就是 图的弧集合中的所有有序对。弧表表示法直接列出所有弧的起点和终点，共需2m 个存 储单元，因此当网络比较稀疏时比较方便。此外，对于网络图中每条弧上的权，也要对 应地用额外的存储单元表示。例如，例 7 所示的图，假设弧(1,2)，(1,3)，(2,4)，(3,2)， (4,3)，(4,5)，(5,3)和(5,4)上的权分别为 8，9，6，4，0，3，6 和 7，则弧表表示如表 1 所示。 表 1 起点 1 1 2 3 4 4 5 5 终点 2 3 4 2 3 5 3 4 权 8 9 6 4 0 3 6 7 为了便于检索，一般按照起点、终点的字典序顺序存储弧表，如上面的弧表就是按 照这样的顺序存储的。 （iv）邻接表表示法 邻接表表示法将图以邻接表（adjacency lists）的形式存储在计算机中。所谓图的 邻接表，也就是图的所有节点的邻接表的集合；而对每个节点，它的邻接表就是它的所 有出弧。邻接表表示法就是对图的每个节点，用一个单向链表列出从该节点出发的所有 弧，链表中每个单元对应于一条出弧。为了记录弧上的权，链表中每个单元除列出弧的 另一个端点外，还可以包含弧上的权等作为数据域。图的整个邻接表可以用一个指针数 组表示。例如，例 7 所示的图，邻接表表示为