Ch7-51 因而 E|∑(x-x)|=∑E(x)-E(x2 (2+2) 刀-1 O≠o 故E∑(x,-x)|=02证毕 i=1
Ch7-51 ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 E X E X n X X n E n i i n i i = − − = = 因而 ( ) ( ) 2 2 2 2 = + − + n 1 2 2 − = n n 2 1 2 ( ) 1 1 = − − = n i Xi X n 故 E 证毕
Ch7-52 例3设(X12X2…X)是总体x的一个样本 XB(m,p)n>1,求p2的无偏估计量 解由于样本矩是总体矩的无偏估计量 以及数学期望的线性性质,只要将未知 参数表示成总体矩的线性函数,然后用样 本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未 知参数的估计量即为无偏估计量. 令X=E(X)=1p 2X=E(X)=(np)+np(1-p)
Ch7-52 例3 设 ( , , , ) X1 X2 X m 是总体 X 的一个样本 , X~B(n , p) n > 1 , 求 p 2 的无偏估计量. 解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量 以及数学期望的线性性质, 只要将未知 参数表示成总体矩的线性函数, 然后用样 本矩作为总体矩的估计量, 这样得到的未 知参数的估计量即为无偏估计量. 令 X = E(X) = np( ) ( ) (1 ) 1 2 2 1 2 X E X np np p m m i i = = + − =
Ch7-53 故(-B21 x2- 11 因此,p2的无偏估计量为 ∑X2-x M-nm石 ∑X(X1-1) 7(n-1)
Ch7-53 − − = = X X n n m p m i i 1 2 2 2 1 1 因此, p 2 的无偏估计量为 ( 1) ( 1) 1 1 − − = = n n X X m m i i i 故 X X m n n p m i − = i − =1 2 2 1 2 ( )
例4设总体X的密度函数为 Ch7-54 f(x)=10 O>0为常数 0 x<0 X,X2…,X)为X的一个样本 证明ⅹ与nmn{X1,2…x}都是的无偏 估计量 证X~E E(X)=6 故E(X)=E(X)=O ⅹ是的无偏估计量
Ch7-54 例4 设总体 X 的密度函数为 = − 0 0 0, 1 ( ; ) x e x f x x 0 为常数 ( , , , ) X1 X2 Xn 为 X 的一个样本 证明 X 与 min{ , , , } n X1 X2 Xn 都是 的无偏 估计量 证 = ( ) 1 X ~ E E X 故 E(X ) = E(X ) = X 是 的无偏估计量
Z=min{X1,X2,…,Xn} F2(z)=1-P(X1>z,2>2,…,Xn>z) 1-P(XI>ZP(X2>z).P(Xn>Z z<0 =1-∏(-Px≤)=, z20 0 <0 f2(2)={n ≥0 6 即Z~E E(Z) 6 E(nz=8 故nZ是θ的无偏估计量
Ch7-55 min{ , , , } 令 Z = X1 X2 Xn = − 0 0 0 ( ) e z n z f z n z Z 即 n E Z n Z E = ~ ( ) − = − 1 0 0 0 e z z nz E(nZ) = 故 n Z 是 的无偏估计量. 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 P X z P X z P X z = − n = = − − n i i P X z 1 1 (1 ( )) ( ) 1 ( , , , ) 1 2 F z P X z X z X z Z = − n