事实上，由P'AP=B和Q'BQ=C可得(PQ)'A(PQ) = Q'PAPQ = Q'BQ = C合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对称矩阵合同的矩阵仍是对称的设q和g是数域F上两个n元二次型，它们的矩阵分别为A和B.如果可以通过变量的非奇异线性变换将变为α'，则B与A合同.反之，设B与A合同.于是存在F上非奇异矩阵P使得B=P'AP通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将变为gF上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的非奇异线性变换将其中一个变成另一个理学院数学系
事实上，由 可得 合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对 称矩阵合同的矩阵仍是对称的. PAP B 和 QBQ C (PQ)A(PQ) QPAPQ QBQ C 是数域F上两个n 元二次型，它们的 矩阵分别为A 和 B. 如果可以通过变量的非奇异线 性变换将 ，则B与A 合同. 反之，设B与 A 合同. 于是存在F上非奇异矩阵P 使得 . 通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将 . 设q 和 q q 变为 q B PAP q 变为 q F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的 非奇异线性变换将其中一个变成另一个. 理学院数学系
定理9.1.3数域F上两个二次型等价的必要且充分条件是它们的矩阵合同。等价的二次型具有相同的秩令A=（ai）是数域F上的一个n阶对称矩定理9.1.4阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得0CPT AP=即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同。理学院数学系
定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分 条件是它们的矩阵合同。 等价的二次型具有相同的秩。 定理9.1.4 是数域F上的一个n阶对称矩 阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得 ( ) 令A aij n T c c c P AP 0 0 2 1 即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合 同。 理学院数学系
证我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理。回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵Pi,，D;(k)和Ti（k）容易看出，P, = Pj; D,(k)'= D,(k); T,(k) = T,(k)现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n=1时定理显然成立。设n>1，并且假设对于n-1阶对称矩阵来说，定理成立。设A=（αi）是一个n阶矩阵如果A=O，这时A本身就是对角形式。设A≠O我们分两种情形来考虑理学院数学系
证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定 理。回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵 Pi j , Di (k )和 T ij (k )容易看出， P P ; D (k) D (k); T (k) T (k) i j i j i i ij ji ( ) 设A aij A O ( ) 设A aij A O 现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n = 1时定 理显然成立。设n > 1，并且假设对于n – 1阶对称 矩阵来说，定理成立。 是一个n阶矩阵. 如果A = O，这时A本身就是对角形式。设 , 我们分两种情形来考虑. 理学院数学系
(a）设A的主对角线上元素不全为零，例如，ai±0.如果i±1，那么交换A的第1列与第i列再交换第1行与第行，就可以把a换到左上角。这P,右乘 A，再用样就相当于初等矩阵P',AP;Pi= Pi,左乘A.于是的左上角的元素aij乘不等于零.因此，我们不妨设“11≠0，用ailajA的第1列加到第j列，再用乘第1行加到第alj行，就可以把第一行第j列和第j行第1列位置的元素变成零理学院数学系
(a) 设A的主对角线上元素不全为零，例 如， .如果i ≠ 1，那么交换A的第1列与第i列， 再交换第1行与第i行，就可以把 换到左上角。这 样就相当于初等矩阵 , 再用 . 于是 的左上角的元素 0 ii a ii a P1i 右乘 A P1 i P1i左乘A i i P1 AP1 a11 0 11 1 a a j 不等于零. 因此，我们不妨设 ，用 乘 j 行，就可以把第一行第 j 列和第 j 行第1列位置的 元素变成零。 A的第1列加到第 j 列，再用 乘第1行加到第 11 1 a a j 理学院数学系
dij右乘A，用这相当于用月 T1;(-jii-左乘A。这样，总可以选取初等矩阵Ei,E2,.".,E使得ail0E'..E'E'AE,E2..E,=这里A是一个n－1阶的对称矩阵。理学院数学系
这相当于用 ( ) 右乘A，用 11 1 1 a a T j j j T j j j a a T a a T ( ) ( ) 11 1 1 11 1 1 左乘A。这样，总可以选取初等矩阵 , 使得 E E Es , , , 1 2 0 0 0 0 1 11 2 1 1 2 A a Es E E AE E Es 这里 A1 是一个n – 1阶的对称矩阵。 理学院数学系