《高等代数》课程教学资源（PPT课件）第九章 二次型

年Q使得由归纳法假设，存在n一1阶可逆矩阵CQA1Qi=取1福O0P=E,E,...E,Q理学院数学系

由归纳法假设，存在n – 1阶可逆矩阵 Q1 使得         n c c c Q A Q 0 0 3 2 1 1 1         0 0 1 0 0 Q1 Q   P  E1E2EsQ 取 理学院数学系

那么P'AP=Q'E',..E,E'AE,E,..E,Q00aal00Q二Q'A,Q1这里 Ci =ai1理学院数学系

那么                              n s s c c c Q A Q a Q A a Q P AP Q E E E AE E E Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 11 1 11 2 1 1 2        这里 c1  a11 。 理学院数学系

(b)如果a=0,i=1,2,,n由于A+O，所以一定有某一个元素ai≠0，i≠j.把A的第j列加到第列，再把第j行加到第行，这相当于初等矩T,(1)= Ti(1)阵左乘A.Ti,(1)右乘A.再用而经过这样的变换后所得到的矩阵第i行第i列的元素(b）(a).是2a±0.于是情形就归结到情形注意在定理9.1.2的主对角形矩阵P'AP中，主对角线上的元素ci，C2，,Cn的一部分甚至全部可以是零。显然，不为零的C;的个数等于A的秩，如果秩A等于r>0，那么由定理的证明过程可以知C1,C2,*,C, ± 0, 而cr+1 =Cr+2 =...= Cn =0理学院数学系

(b) 如果 . 由于A≠O，所以 一定有某一个元素 . 把A的第 j 列加 到第 i列, 再把第 j 行加到第 i行, 这相当于初等矩 阵 右乘A . 再用 左乘A. 而经过 这样的变换后所得到的矩阵第 i 行第 i 列的元素 是 . 于是情形（b）就归结到情形（a）. a i n ii  0, 1,2, a i j ij  0,  (1) Tji (1)  (1) Tij Tji 2  0 ii a 注意 在定理 9.1.2的主对角形矩阵 中，主 对角线上的元素 的一部分甚至全部可以 是零。显然，不为零的 的个数等于A的秩，如 果秩A等于r > 0，那么由定理的证明过程可以知 PAP n c , c , , c 1 2  i c c1 ,c2 ,,cr  0, 而cr1  cr2   cn  0 理学院数学系

给了数域F上一个n阶对称矩阵A，由定理9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出一个可逆矩阵P，使PTAP有对角形式，只要在对A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对n阶单位矩阵1施行同样的列初等变换，那么当A化为对角形式时，/就化为P。例1设一122理学院数学系

给了数域 F 上一个n 阶对称矩阵A， 由定理 9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出 一个可逆矩阵P，使 有对角形式，只要在对 A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对 n阶单位矩阵 I 施行同样的列初等变换，那么当A 化为对角形式时，I 就化为P。 P AP T 例1 设            3 0 4 0 0 6 12 4 0 3 6 0 0 0 0 3 A 理学院数学系

我们按定理9.1.2所给出的方法对A施行行和列初等变换，将A变成P'AP，使得P'AP是一个对角形矩阵。同时对单位矩阵I，施行同样的列初等变换而得出P。交换A第一列和第二列，第一行和第二行，同时交换I 的第一列和第二列。这时A和I 分别化为：理学院数学系

我们按定理9.1.2所给出的方法对A施行行和列 初等变换，将A变成 ，使得 是一个对 角形矩阵。同时对单位矩阵 ，施行同样的列初 等变换而得出P。 PAP PAP 4 I 交换A第一列和第二列，第一行和第二行，同 时交换 的第一列和第二列。这时A和 分别化 为： 4 I 4 I                   0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 , 0 3 4 0 6 0 12 4 0 0 0 3 3 0 6 0 A1 P1 理学院数学系