nn(2)q(xi,x2,..,xn)=EEcajx,xj,aij =ajii-l j=-l令A=(aij是（2）式右端的系数所构成的矩阵，称为二次型的矩阵。因为ij=ji，g(Xi,x2,..,Xn)E所以A是F上的一个n阶对称矩阵，利用矩阵的乘法，（2）式可以写成XiX2(3)q(x1,x2,.",xn)=(i,x2,..",xn)Xn二次型(3）的秩指的就是矩阵A的秩理学院数学系
（2） n i n j n ij i j aij a ji q x x x a x x 1 1 1 2 ( , ,, ) , 是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称 为二次型 的矩阵。因为 , 所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘 法，（2）式可以写成 ( ) 令A aij ( , , , ) 1 2 n q x x x ij ji a a （3） n n n x x x q x x x x x x A 2 1 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩。 理学院数学系
9.1.2线性变量替换(3)如果对二次型的变量施行如下的一个变换：nx, =Epijyj, i=1,2,..,n, Pij eF(1<i,j<n)(4)j-l的二次型那么就得到一个关于yi,J2，，n'y1,y2,.,y(4)式称为变量的线性替换，令P=（pi）是（4)的系数构成的矩阵，则（4）可以写成理学院数学系
9.1.2 线性变量替换 如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换： （4） , 1,2, , , (1 , ) 1 x p y i n p F i j n ij n j i ij j 那么就得到一个关于 y1 , y2 ,, yn 的二次型 ( , , , ) 1 2 n q y y y （4）式称为变量的线性替换，令 是（4） 的系数构成的矩阵，则（4）可以写成 ( ) P pij 理学院数学系
Xyiy2X2(5)=PVn将（5）代入（3）就得到yiy2(6) q'(yi,y2,, yn) = (yi, y2,.*, yn)pT AP（4）白矩阵P称为线性变换的矩阵。如果P是非奇异的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为A是对称矩阵，所以(PTAP)T=PTAP=PTAP PTAF也是对称矩阵理学院数学系
（5） n n y y y P x x x 2 1 2 1 将（5）代入（3）就得到 （6） n T n n y y y q y y y y y y P AP 2 1 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 矩阵P 称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇 异的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为A 是对称矩阵，所以 也是对称矩阵。 P AP P A P P AP P AP T T T T T T ( ) . 理学院数学系
n22设定理9.1.1aigxx，是数域F上的一个以A为i-1 j=1矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是P'AP推论9.1.2一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变注意：如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论9.1.2不成立理学院数学系
推论9.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变 换之下保持不变。 注意: 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论 9.1.2不成立 定理9.1.1 设 是数域F上的一个以A为 矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩 n i n j ij i j a x x 1 1 阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是 PAP 。 理学院数学系
9.1.3方阵的合同关系定义2设A，B是数域F上的两个n阶矩阵。如果存PTAP = B在F上的一个可逆矩阵P，使得那么称B与A合同。矩阵的合同关系的性质：自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为IAI=A对称性：3如果与A合同，那么A他也与合同，因为由P'AP=B可以得出(P-I)BP-I =(P')-"BP-I = A传递性：如果 B 与 A 合同，C 与 B 合同,，那么C与A合同。理学院数学系
9.1.3 方阵的合同关系 定义2 设A，B是数域F上的两个n 阶矩阵。如果存 在F上的一个可逆矩阵P，使得 那么称 B 与 A合同。 P AP B T 矩阵的合同关系的性质： ③ 传递性：如果 B 与 A 合同，C 与 B 合同，那 么C 与 A 合同。 ① 自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为IAI=A PAP B P BP P BP A 1 1 1 1 ( ) ( ) ② 对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同，因为 由 可以得出 理学院数学系