《概率论与数理统计》课程教学课件（讲义）第七章 假设检验 第二讲 两样本正态参数的检验（打印版）

目录第七章假设检验187.2重要参数检验1一样本正态总体均值和方差的检验1$7.2.1两样本正态总体的情形6$7.2.2成对数据7$7.2.30-1分布中未知参数p的假设检验8$7.2.4置信区间和假设检验之间的关系9$7.2.5i

8 ¹ 1ÔÙ bu 1 §7.2 ­‡ëêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §7.2.1 oNþŠÚu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §7.2.2 üoNœ/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §7.2.3 ¤éêâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §7.2.4 0-1 ©Ù¥™ëêp bu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §7.2.5 &«mÚbuƒm'X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 i

第七章假设检验87.2重要参数检验本节介绍最基本的假设检验问题：一样本和两样本正态总体的有关均值和方差的检验，简单的大样本检验(0-1分布参数的假设检验)，87.2.1一样本正态总体均值和方差的检验现实中经常碰到诸如此类的问题：假设用于某用途的合格铁钉要求长度为10厘米现有经销商从生产厂家订购了一批这样的铁钉，为了检验该批检验产品是否合格，可以从中抽取一小部分进行测量检验，通常铁钉的长度服从一个正态分布，这类问题属于一样本正态总体的假设检验问题一般地，设总体X~N(μu,a2),-<μ<,g?>0;Xi,*,Xn是取自总体X的一个样本.取显著性水平为.(1）方差已知时均值的检验先考虑双侧假设，即要检验Ho:=oH:o由于μ的极大似然估计为文，取“标准化”后的检验统计量X-MOU = u(Xi,**,Xn)= VnO注意到当Ho成立时，U～N(0,1)，UI应该较小，反之当|UI的观测值u(r1,，an）较大时，不利于零假设H。应该拒绝之.所以选拒绝域形如[IU > T].要求显著性水平为Q，即PHo(IUI> T) = α解得T=uα/2.于是检验的拒绝域为[[U]>Ua/2]1

1ÔÙ bu §7.2 ­‡ëêu !0Äbu¯K: ÚüoNk'þŠÚu , {üŒu(0-1 ©Ùëêbu). §7.2.1 oNþŠÚu y¢¥²~-ÃXda¯K: b^u,^å܂c¹‡¦ݏ10 f’, yk²ûl)‚[¾ 1ùc¹,  uT1u¬´Ä܂, Œ± l¥ÄÜ©?1ÿþu, Ï~c¹ÝÑl‡©Ù, ùa¯Káu oNbu¯K. „/, oNX ∼ N(µ, σ2 ), −∞ < µ < ∞, σ2 > 0; X1, · · · , Xn ´goNX  ‡. wÍ5Y²α. (1) ®žþŠu kÄVýb, =‡u H0 : µ = µ0 ↔ H1 : µ 6= µ0. duµ 4Œq,OX¯, “IOz”￾uÚOþ U = u(X1, · · · , Xn) = √ n X¯ − µ0 σ 5¿H0 ¤áž, U ∼ N(0, 1), |U| AT, ‡ƒ|U| *ÿŠu(x1, · · · , xn) Œ ž, Ø|u"bH0 ATáýƒ. ¤±Àáý/X {|U| > τ}. ‡¦wÍ5Y²α, = PH0 (|U| > τ ) = α, )τ = uα/2 . u´uáý {|U| > uα/2}. 1

即当观测值（a1,，n）满足不等式Vr-0l ta/26时拒绝Ho类似地，检验单侧假设Ho:μ=μoHi:μ>μo或者Ho:μμoHi:μ>μ仍然用统计量U，由于U大时不利于Ho,取拒绝域为[U > ua].而检验另一个单侧假设Ho:=oH:o或者Ho:≤μoH:μo的拒绝域为[U<-ua]虽然我们取的临界值只考虑使检验在μ=μo处的犯I类错误的概率为α，从检验的拒绝域的形状上可直接看出来在零假设下μ≤μo（或μ≥o）时犯第I类错误的概率恒小于或等于α.以上三个检验统称为u检验例7.2.1.随机地从一批铁钉中抽取16枚，测得它们的长度（单位：厘米）如下2.9423712.9886623.1062343.1093163.1184273.1322543.1400423.1701882.9025623.1280033.1464412.9782403.1036003.0033943.0443842.849916已知铁钉长度服从标准差为0.1的正态分布，在显著性水平α=0.01下，能否认为这批铁钉的平均长度为3厘米？如显著性水平为α=0.05呢？解：这是方差已知时关于均值μ的假设检验问题，Ho:μ=3H:μ3.取检验统计量为U=Vn(X-3)/0.1，检验的拒绝域为UI>uα/2-由样本算得检验统计量的值为u~2.16，如显著性水平为0.01，则临界值为u0.005～2.58，跟检验统计量的值比2

=*ÿŠ(x1, · · · , xn) ÷vت √ n |x¯ − µ0| σ > uα/2 žáýH0. aq/, uüýb H0 : µ = µ0 ↔ H1 : µ > µ0 ½ö H0 : µ ≤ µ0 ↔ H1 : µ > µ0 E,^ÚOþU, duU ŒžØ|uH0, áý {U > uα} . u,‡üýb H0 : µ = µ0 ↔ H1 : µ < µ0 ½ö H0 : µ ≤ µ0 ↔ H1 : µ < µ0 áý {U < −uα} . ,·‚.ŠĦu3µ = µ0 ?‹I a†ØVǏα, luáý /GþŒ†wÑ53"beµ ≤ µ0 (½µ ≥ µ0) ž‹1I a†ØVÇðu½ uα. ±þn‡uÚ¡u u. ~ 7.2.1. ‘Å/l1c¹¥Ä16 q, ÿ§‚Ý(ü : f’) Xe: 2.942371 2.988662 3.106234 3.109316 3.118427 3.132254 3.140042 3.170188 2.902562 3.128003 3.146441 2.978240 3.103600 3.003394 3.044384 2.849916 ®c¹ÝÑlIO0.1 ©Ù, 3wÍ5Y²α = 0.01 e, UÄ@ù1c ¹²þݏ3 f’? XwÍ5Y²α = 0.05 Q? ): ù´®ž'uþŠµ bu¯K, H0 : µ = 3 ↔ H1 : µ 6= 3. uÚOþU = √ n(X¯ − 3)/0.1, uáý|U| > uα/2 . dŽuÚO þŠu ≈ 2.16, XwÍ5Y²0.01, K.Šu0.005 ≈ 2.58, ‹uÚOþŠ' 2

较发现不能拒绝零假设，即不能推翻铁钉平均长度为3厘米的假设：而如果显著性水平为0.05时，临界值为u0.025=1.96，此时可以拒绝零假设，认为铁钉平均长度不等于3厘米这个例子说明结论可能跟显著性水平的选择有关：显著性水平越小，零假设被保护得越好从而更不容易被拒绝例7.2.2.对正态总体N(μ,a2)(其中2已知)下的假设检验问题Ho:μ=μo→H1:μ≠μo,如果我们还要求“犯第二类错误的概率要小于指定的β>0”该怎么办？解：根据功效函数和两类错误的定义，知道等价的要求(7.2.1)βo(μ)≥1-β, μ<μO但是，当μ<μo但μ接近μo时，β(μ)~α，而因为α,β一般都很小，因此一般有α<1-β，这就看出要求(7.2.1)无法达到。我们只能放松一些，要求对某个指定的μ1<μ0，有(7.2.2)βo(μ)≥1-β, μ<μ1因为β（μ)为μ的减函数，因此等价于要求βs(μ1)≥1-β此即(Vn(μo -μ) - u≥1-β0等价的得到n≥g(ua+ug)/(μo-μ)2也即要满足题目中的要求，样本大小至少要达到上式右边那么大。口(2）方差未知时均值的检验考虑检验Ho=o由于方差未知，可以在将X标准化的过程中用样本方差S2代替总体方差。2得检验统计量X-μoT=VnS由于在Ho下，T～tn-1，于是拒绝域取成[(T| > tn-1(α/2)] .3

uyØUáý"b, =ØUí€c¹²þݏ3 f’b; XJwÍ5Y² 0.05ž, .Šu0.025 = 1.96, džŒ±áý"b, @c¹²þÝØu3 f’. ù‡~f`²(،U‹wÍ5Y²ÀJk': wÍ5Y², "bo Ðl ØN´áý. ~ 7.2.2. éoNN(µ, σ2 )(Ù¥σ 2®)ebu¯KH0 : µ = µ0 ↔ H1 : µ 6= µ0§ XJ·‚„‡¦/‹1a†ØVLJu½β > 00TNoº )µŠâõ¼êÚüa†Ø½Â§d‡¦ βφ(µ) ≥ 1 − β, µ < µ0 (7.2.1) ´§µ < µ0µCµ0ž§βφ(µ) ≈ α§ Ïα, β„Ñé§Ïd„kα < 1 − β§ ùÒwч¦(7.2.1)Ã{ˆ"·‚Ut §‡¦é,‡½µ1 < µ0§k βφ(µ) ≥ 1 − β, µ < µ1 (7.2.2) Ϗβφ(µ)µ~¼ê§Ïddu‡¦ βφ(µ1) ≥ 1 − β d= Φ √ n(µ0 − µ) σ − uα  ≥ 1 − β d n ≥ σ 2 (uα + uβ) 2 /(µ0 − µ) 2 =‡÷vK8¥‡¦§Œ‡ˆþªm>@oŒ" (2) ™žþŠu Äu H0 : µ = µ0 ↔ µ 6= µ0, du™, Œ±3òX¯ IOzL§¥^S 2 OoNσ 2 , uÚO þ T = √ n X¯ − µ0 S . du3H0 e, T ∼ tn−1, u´áý¤ {|T| > tn−1(α/2)} . 3

此检验称为t检验类似地可以得到另外两个单侧假设的检验拒绝域，列于表7.2.1中例7.2.3.（例7.2.1续）设方差未知，则在水平0.01和0.05下能否认为铁钉平均长度为3厘米?解：这是方差未知时关于均值的假设检验问题，Ho:μ=3-Hi:μ+3取检验统计量为T=Vn(X-3)/S，检验的拒绝域为|TI>tn-1(α/2).由样本算得检验统计量的值约为2.21，与显著性水平0.01对应临界值t15(0.005）~2.95比较，不能拒绝零假设，而与显著性水平0.05对应临界值t15(0.025）～2.13比较，可以拒绝零假设，即在显著性水平0.01下不能拒绝铁钉平均长度为3厘米的假定，但在显著性水平0.05下可以认为铁钉平均长度不等于3厘米，此结论与方差已知情形一致(3）方差的检验考虑假设检验问题Ho:g2=0-Hi:0?+%对均值已知的情形，由。2的极大似然估计62 =↓(X - μ)2ni=l可以构造检验统计量=1712-0-%在Ho下，x2～x，x2的平均值为n，而在H下，x2=%的均值为%nn,因此当x2的值过于偏离n时应该拒绝Ho，于是拒绝域取成[x2 < xn(1 - α/2) 或者 x2 > xn(α/2)) 对均值未知的情形，构造检验统计量x2= (n-1)s2%4

du¡t u. aq/Œ±, ü‡üýbuáý, uL7.2.1¥. ~ 7.2.3. (~7.2.1Y) ™, K3Y²0.01 Ú0.05 eUÄ@c¹²þݏ3 f ’? ): ù´™ž'uþŠµ bu¯K, H0 : µ = 3 ↔ H1 : µ 6= 3 uÚOþT = √ n(X¯ − 3)/S, uáý|T| > tn−1(α/2). dŽuÚ OþŠ2.21, †wÍ5Y²0.01 éA.Št15(0.005) ≈ 2.95 ', ØUáý"b , †wÍ5Y²0.05 éA.Št15(0.025) ≈ 2.13 ', Œ±áý"b, =3wÍ 5Y²0.01 eØUáýc¹²þݏ3 f’b½, 3wÍ5Y²0.05 eŒ±@ c¹²þÝØu3 f’, d(؆®œ/. (3) u Äbu¯K H0 : σ 2 = σ 2 0 ↔ H1 : σ 2 6= σ 2 0 . éþŠ®œ/, dσ 2 4Œq,O σˆ 2 = 1 n Xn i=1 (Xi − µ) 2 Œ±EuÚOþ χ 2 = 1 σ 2 0 Xn i=1 (Xi − µ) 2 = nσˆ 2 σ 2 0 . 3H0 e, χ 2 ∼ χ 2 n , χ 2 ²þŠn, 3H1 e, χ 2 = σ 2 σ 2 0 nσˆ 2 σ2 þŠσ 2 σ 2 0 n 6= n, Ïdχ 2 ŠLu ln žATáýH0, u´áý¤  χ 2 < χ2 n (1 − α/2) ½ö χ 2 > χ2 n (α/2) . éþŠ™œ/, EuÚOþ χ 2 = (n − 1)S 2 σ 2 0 , 4