显然成立.(3) → (4).(4)=→(5). 不妨设T在 S(xo,r)=(xEX : llx-xoll ≤r清界,注意到 rS(O,1)+x=S(xo,r)其中 x EX,r>0.其中 S(0, 1)=(x e X : |l/≤1), 或者 S(0, 1) = =(S(xo, r)- x0).由 T的线性，T在S(xo,r)上的有界性必导致它在S(xo,r)一x。上的有界性， 从而在S(O,1)上的有界性以上论述也说明T在闭球S(O,1)上有界与T在开球0(0,1)上有界等价
(3) (4). (4) (5). 显然成立. 不妨设 T 在 S x r x X x x r ( , ) : 0 0 = − 有界， 其中 0 x X r , 0. 由 的线性， 在 上的有界性必导致它在 上的有界性，从而在 上的有界性. T T 0 S x r ( , ) 0 0 S x r x ( , ) − S(0,1) 以上论述也说明 在闭球 上有界与 在开 球 上有界等价. S(0,1) T O(0,1) T 0 0 rS x S x r (0,1) ( , ), + = 其中 S x X x (0,1) : 1 , = 或者 0 0 1 S S x r x (0,1) ( ( , ) ). r = − 注意到
为证(5)，假设在 S(0,1)上，sup|Txll=α<o0.1x/≤1xVxEX,若x≠O,则E S(0,1), 从而xl≤α,[Tx≤αxx=0时上面不等式成立，故得到(5)(5)=(1). 由(5)知, Vxn EX,xn →0, 则ITxn l ≤ αlx, ll →0(n →0),从而T在X=O连续
为证(5)，假设在 S(0,1) 上， 1 sup . x Tx = x X , 若 则 (0,1), 从而 x S x x 0, , . x T Tx x x x = 0 时上面不等式成立，故得到(5). (5) (1). 由(5)知， → x X x n n , 0, 则 0( ), Tx x n n n → → 从而 T在 x = 0连续