例1.求微分方程 =3x2y的通解 dx 解：分离变量得 dy =3x2 dx 说明：在求解过程中 每一步不一定是同解 两边积分此-3xd 变形，因此可能增、 减解 得 In y =x3+C 或 即 y=tex'+C =teCex In y=x'+In C 令C-±eC y=Cex (C为任意常数) (此式含分离变量时丢失的解y=0)
x y x y 2 3 d d 的通解. 解: 分离变量得 x x y y 3 d d 2 两边积分 x x y y 3 d d 2 得 1 3 ln y x C ln y x ln C 3 即 1 3 x C y e 3 1 C x e e 3 x y C e C1 令C e ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.解初值问题 xydx+(x2+1)dy =0 (0)=1 解：分离变量得 。dx y 丙达我分智hhC 即 y/x2+1=C(C为任意常数) 由初始条件得C=1,故所求特解为 yVx2+1=1 9oOR
d ( 1) d 0 2 xy x x y 解: 分离变量得 x x x y y d 1 d 2 两边积分得 C x y ln 1 1 ln ln 2 即 y x 1 C 2 由初始条件得 C = 1, 1 1 2 y x ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 y(0) 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求下述微分方程的通解： y'=sin2(x-y+1) 解：令u=x-y+1,则 w'=1-y' 故有 1-u'sin2 u 即 sec2 udu dx 解得 tan u x C 所求通解：tan(x-y+1)=x+C(C为任意常数) Qe日Do⑧
sin ( 1) 2 y x y 解: 令 u x y 1,则 u 1 y 故有 u u 2 1 sin 即 sec u du dx 2 解得 tan u x C 所求通解 tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 ) : 机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习：求方程 =exy 的通解 dx 解：分离变量eydy=edx -e >=ex+C 即 (ex+C)e'+1=0(C<0)
. d d 求方程 e x y 的通解 x y 解: 分离变量 e y e x y x d d e e C y x 即 ( ) 1 0 x y e C e ( C < 0 )
例4.已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量M成正比，已知t=0时铀的含量为Mo,求在 衰变过程中铀含量M()随时间t的变化规律 dM =-λM(2>0) 解：根据题意，有 dt M,-o=M(初始条件) 对方客分肉变丝，然后积分∫-小： 得lnM=-元t+lnC,即M=Ce-irM 利用初始条件，得C=Mo Mo 故所求铀的变化规律为M=Moe2i
子的含量 M 成正比, , M0 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有 ( 0) d d M t M M t0 M0 (初始条件) 对方程分离变量, M dM 得 ln M t lnC, 即 t M C e 利用初始条件, 得 C M0 故所求铀的变化规律为 . 0 t M M e M M0 t o 然后积分: ( )d t 已知 t = 0 时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 机动 目录 上页 下页 返回 结束