第四章 不定积分 微分法：F'(x)=(?) 互逆运算 积分法：(？y=f(x)J
微分法: F(x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f (x) 互逆运算 不定积分
4.1不定积分的概念与性质 4.1.1原函数 定义1：设F(x)与f(x)是定义在某区间上的函数， 如果在该区间上有F'(x)=f(x) 或dF(x)=f(x)d,则称F(x)是fx) 在这个区间上的一个原函数
4.1 不定积分的概念与性质 定义1： 设 F (x)与 f (x) 是定义在某区间上的函数， 如果在该区间上有 或 ，则称 F (x)是 f (x) 在这个区间上的一个原函数。 F(x) f (x) dF(x) f (x)dx 4.1.1 原函数
问题： 1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？ 2.若原函数存在，它如何表示？ 定理1.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上 存在原函数 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 机动 返回
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 若函数 f (x)在区间 I 上连续, 则 f (x)在I 上 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理.若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有 原函数都在函数族F(x)+C(C为任意常数)内 证：1)(F(x)+C)'=F'(x)=f(x) .F(x)+C是f(x)的原函数 2)设Φ(x)是f(x)的任一原函数，即 Φ'(x)=f(x) 又知 F'(x)=f(x) ∴.[Φ(x)-F(x)]'=Φ'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 故 Φ(x)=F(x)+C0(C,为某个常数) 即Φ(x)=F(x)+C。属于函数族F(x)+C 8 机动 返回 束
若F(x)是 f (x)的一个原函数 , 则 f (x)的所有 原函数都在函数族 F(x) C ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) F(x) C 是 f (x)的原函数 (F(x) C) F(x) f (x) 2) 设(x)是 f (x)的任一原函数， (x) f (x) 又知 F(x) f (x) [(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0 故 0 (x) F(x) C ( ) C0 为某个常数 即 0 (x) F(x) C 属于函数族 F(x) C . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即
4.1.2不定积分的概念 定义2.f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I 上的不定积分，记作f(x)dx,其中 「一积分号； f(x)一 被积函数； X— 积分变量；f(x)dx一被积表达式. 若F'(x)=f(x),则 「f(x)dx=F(x)+C(C为任意常数) 例如，∫e*dx=e+C C 称为积分常数 「x2d=x3+C 不可丢！ sin xdx -cosx+C
f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x)在I 上的不定积分, f (x)dx , 其中 — 积分号; f (x) — 被积函数; x — 积分变量; f (x)dx — 被积表达式. 若 F(x) f (x) , 则 f x x F x C ( )d ( ) ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, e x xd e C x x dx 2 x C 3 3 1 sin xdx cos x C 记作 4.1.2不定积分的概念