微分方程的解一使方程成为恒等式的函数， 通解一解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解一不含任意常数的解，其图形称为积分曲线。 初始条件一确定通解中任意常数的条件. n阶方程的初始条件（或初值条件）： xo)=,y(xo)=6,,y-》(x)=%m-D 引例1 出=2x =-0.4 引例2 dx yx=1=2 10=0,0=20 通解：y=x2+C s=-0.2t2+Ct+C2 特解：y=x2+1 s=-0.2t2+20t
0 , s t0 20 d 0 d t t 引例 s 2 0.4 2 2 d d x y — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) n n y x y y x y y x y — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 x x y 2 d d 2 y x1 引例1 y x C 2 1 2 2 通解: s 0.2t C t C s 0.2t 20t 2 1 2 特解: y x 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 初始条件 其图形称为积分曲线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.验证函数x=C1 coskt-+C2 sinkt(C1,C2为常数) 是微分方程 d-x 产+k己x=0的解，并求满足初始条件 x0=A,d1=0=0的特解 d x 解 d =-Cik2 coskt -C2k2 sin kt =-k2(C sinkt+C2 coskt)=-k2x 这说明x=C coskt+C2 sin kt是方程的解 C,C2是两个独立的任意常数，故它是方程的通解 利用初始条件易得：C1=A,C2=0,故所求特解为 x=Acoskt
是微分方程 x C cos k t C sin k t 1 2 2 2 d d t x 的解, , x t0 A 0 d 0 d t t x 的特解 . 解: 2 2 d d t x C k sin kt 2 2 ( sin cos ) 1 2 2 k C kt C kt k x 2 这说明 x C cos k t C sin k t 1 2 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 1 2 C ,C ( , ) C1 C2为常数 C k cos kt 2 1 0 2 k x 利用初始条件易得: , C1 A 故所求特解为 x Acos k t 0 , C2 故它是方程的通解. 并求满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.已知曲线上点RX,)处的法线与X轴交点为Q 且线段PQ被y轴平分，求所满足的微分方程 解：如图所示，点P(x,y)处的法线方程为 Y-y=-1(x-) 令Y=0,得Q点的横坐标 X=x+yy ∴.x+yy'=-x,即yy'+2x=0 xx
求所满足的微分方程 . P Q x y o x 解: 如图所示, Y y y 1 (X x) 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 X x y y x yy x , 即 y y 2x 0 点 P(x, y) 处的法线方程为 且线段 PQ 被 y 轴平分
6,2常见微分方程的解法 6.2.1可分离变量微分方程 可分离变量方程 =f(x)g(y) dx M(x)M2(y)dx+N(x)N2(y)dy=0 转化 解分离变量方程 6908R
转化 6.2.1 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解分离变量方程 可分离变量方程 ( ) d ( ) 0 M1 x M ( y) x N1 x N ( y)dy 2 2 f (x)g( y) dx dy f x dx g y dy ( ) ( )
分离变量方程的解法： 在8g01 分离变量： 岛a 两边积分：-/ek Qe日Do⑧
机动 目录 上页 下页 返回 结束 f (x)g( y) dx dy f x dx g y dy ( ) ( ) f x dx g y dy ( ) ( )