例5.设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0，求 降落伞下落速度与时间的函数关系 dv 解：根据牛顿第定律列方程md,g-和 初始条件为v=0=0 方会变至器#会j心中，了 得-n(mg-kv)=+C(此处mg-kv>0) k m 利用初始条件，得C=-ln(mg) t足够大时 k k V≈ mg 代入上式后化简，得特解v=m81-e k k 机动
成正比, 求 解: 根据牛顿第二定律列方程 t v m d d 0 初始条件为 v t0 对方程分离变量, m t mg kv dv d 然后积分 : 得 C m t mg kv k ln ( ) 1 (此处 mg kv 0) 利用初始条件, 得 ln ( ) 1 mg k C 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, (1 ) t m k e k m g v mg kv 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. k mg v t 足够大时 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6.有高1m的半球形容器，水从它的底部小孔流 小艺做截面积S-1cm2开始时容器内盛清了水，求水 从小孔流出过程中，容器里水面的高度h随时间t的变 化规律 解：由水力学知，水从孔口流出的流量为 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 h+dh 即 dV=0.62、/2ghdt 设在[t,t+dt]内水面高度由h降到h+dh(dh<0), QQ日0o⑧
100cm 1cm . 2 S 开始时容器内盛满了水, 从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变 r 解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为 t V Q d d 0.62 S 2 g h 即 dV 0.62 2gh d t 小孔横截面积 求水 化规律. 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 设在 [t , t d t ]内水面高度由 h 降到h d h (d h 0), h d h h h o 机动 目录 上页 下页 返回 结束
对应下降体积 dV =-x r2 dh r=V1002-(100-h)2=V200h-h2 dV=-π(200h-h2)dh h 因此得微分方程定解问题： 100cm 0.622ghdt =-(200h-h2)dh o h+dh h,=0=100 将方程分离变量： dt=- 元 (200h2-h2)dh .622g OQo0o⑧
100cm r h d h h h o 对应下降体积 dV r dh 2 2 2 r 100 (100 h) 2 200h h dV (200h h )dh 2 因此得微分方程定解问题: 0.62 2gh d t (200h h )dh 2 100 h t 0 将方程分离变量: h h h g t (200 )d 0.62 2 d 2 3 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束