do inf(rros, rsing)rdr PursIng. 3942.在怎样的情况下,当变换为极坐标之后,积分的限是常 数? 解若变换为极坐标,积分 f(x, y)dxdy= dpl f(rcosp, rsinp)rdr 其中a、只、a、b均为常数,则表明积分域为a≤r≤b a≤g≤R.它表示圆环面a≤r≤b被射线=a,9= R截出的部分,且只有积分域是这种情况,变换为极坐 标后积分的限才是常数如3937题及3939题即为其特 例. 在下列积分中,假定x=rcsp和y= rsing,变换为极坐 标r和y,并依两种不同的顺序配置积分的限: 3943. dx f(x,y)dy 解如图8.18所示 若先对r积分,则当P 从0变到时,对于每 一固定的9从0变到 P;当从n变到 时,对于每一固定的 g,r从0变到cscg 图8.18 27
若先对q积分,则当r从0变到1时,9从0变到2; 当r从1变到√2时,对于每一固定的r,从 arccos 变到 arcsin.于是, drl f(, y)dy 0 JEC i dpl f(rcosp, rsin)rdr 0 fcac +: dpl f(rcosp, rsin)rdr ar rdr2f(rcos,rsinp)dp+ d f(rcosp, sino)dp. 3944.|dxl f(r, y)d 解如图8.19所示若先对积分,则当q从0变到2 时,对于每一固定的从=csc9+4变到1 若先对积分,则当r从一变到1时,对于每一固定的 r,p 从 arccos 变到+ arccos 其中 √2 直线x+y=1的极坐标方程为sin(9+4 即 cos 或 g=士 arccos 于是, 28
dx f(r y)dy d f(coso, rsing) cs了 L f(rcosP, sinop)dp. arec自s 图8.19 3945dxf(√x2+y)d 解如图8.20所 若先对r积分,则当9 √3 从 变到时,对于 每一固定的q,从0变 到 2 若先对y积分,则 当r从0变到2 时,9从变到2;当 图 29
从2√2变到4时,对于每一固定的r,从acos变 到2于是, dx f(√x+y)dy=dq"orf(r) 4 rf(r) arccos f(r)dr 2(3 3946+.@|drf(x,y)dy 解如图8.21所示.若先 对r积分,则当q从0变到 x时,对于每一固定的g,r 从变到1,其中 COSP cos乎 cos为抛物线y=x2 的极坐标方程 若先对g积分,则当r 图8.21 从0变到1时对于每一固定的r,9从0变到 arcsin 2r 由r=S解出叫当r从1变到 √2时,对于每一固定的x,9从arco变到 arcsin √1+4r2-1 于是, E题号右上角带“+”号表示题解答案与原习题樂中译本所附答案不 致,以后不再说明中译本基本是按俄文第二版翻译的,俄文第二版中有一些错 误已在俄文第三版中改正 30
d y)ay dpl won f(rcosp, sinop)rdr ∫( rcos p, rsing)dp f(rcosp, rsin)do 3947.f(x,y)dxdy,其中?是由曲线(x2+y2)2=a2(x2 y2)(x≥0)所界的域 解令x= rose,y=rsin9则曲线(x2+y2)2=a2(x2 y2)(x≥0)的极坐标方程为r2=acos29,其图象是 双纽线的右半部分,如图8.22所示 若先对r积分则当从-变到7时,对于每一 固定的g,从0变到a√cos29 若先对φ积分则当r从0变到a时,对于每一固定 的r,9从-2 arccos变到 arccos 于是,f( y)dxdy e rar f(rcos, sino)dop ReCEsS 2 √ co 2y ∫( cosy, ring)rdr 假定r和φ为极坐标,在下列积分中变更积分的顺序: