3930.}dxf(r,y)d 解积分域如图8.12中阴影 部分所示改变积分顺序即得 dx f(r,y)d f(r, y)d x 图8.12 finr 3931. dx f(rv)dy. 解积分域如图8.13 中阴影部分所示.出于y =sinx的反函数,当y从 y-sinJd 变到1时为 arcsin s 当y从1变到 I时x=丌- arcsin,当 图8.13 y从-1变到0时为x 2x+ arcsin,故改变积分的顺序,即得 drl f(x, y)dy 2or 0 0 t-&TcEmy d fCr, y)dx 户 y ∫(x,y)dx I- gresty 计算下列积分: 3932.xy2 dady,设?是由抛物线 图8.14 y2=2px和直线x=2(p>0)所界的区域 22
解积分域如图8.14所示,于是, uy2drdy=i d. wy ay 2 034√(2pxdx=21 3933 a>0),设!是 2a 由圆心在点(a,a)半径为a且 与坐标轴相切的刻周的较短 弧和坐标轴所围成的区域 解如图8.15所示,当x从 图8.15 0变到a时,对于每固定的 ,y从0变到a 2ar 于是 dxdy za adr √xd 3934. ryidrdy,设2是以a为半径,坐标原点为圆心的 圆 解 ay y rid )xldx=2(ai 3935.(x2+y2)dxly设』是以y=r,y=x+a.y=a和 y=3a(a>0)为边的平行四边形
解如图8.16所示,当y从a 变到3a时,对于每…固定的 y,x从ya变到y.于是, (ax+ y)drdy (x +yo)dr J-a (y-a) y 3 168a 图8.16 14a 3936. y'dxdy,设4是由横轴和摆线 x=a( t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2) 的第一拱所界的区域 2aa 解ydxy=」 3J。(1-cost)h sindt sin uau 2a“fr sin udu sin uat 25 sin&udu+ cos&udu 0 sinuate· 0 3·5·7丌 35 2·4·6·82 12 ￥)参看2282题的结果 24
)参看2281题的结果 在二重积分 f(r, y)drdy 中,假定x=rcos和y- usIng,变换为极坐标r和g并 配置积分的限,没 3937.x2+y2≤a 解雅哥比式l=,以下各题不再写出 g从0变到2x,7从0变到a.于是, f(T,y)dxdy= dp f(rcos, rsin)rdr 3938-圆x2+y2≤ax(a>0) 解圆x2+ x即 极坐 2 标方程为7=《03当9从一变到时,对于每固 定的g,r从0变到cosg于是, f(x, y)durdy (rcosprsinordi 3939.』-环a2≤x2+y2≤b2 解g从0变到2x,r从|al变到|b.于是 f(r, y)drdy 9 f(rcos, rsin)rdr 3940.-三角形0≤x≤1;0≤y≤1-x 解由于直线x+y=1的极坐标方程为 g ny
囚而当从0变到时,对于每一固定的g,从C变到 cs9+4).于是 13(,y)dxd (rcosp, rsin)rdr 39412-抛物线节≤x≤a 解如图8.17所示 区域可分为三部分: (1)当驴从0变到 4 时,对于每…固定 的y,r从0变到 asnφ 其中 8.17 r=“为抛物线y=a 的极坐标方程 (2)当从方变到”时,对于每一固定的q,r从0 变到 3)当9从变到π时,对于每一固定的q,r从0变 到 asin 于是 f(x, y)dxdy dpl"tf(rcosp, rsinp)rdr