2ay d、xdy=4x-2x=2x 故 dad 0. (B)我们有 arcsin(r + y)drdy arcsin(T+ y)dxd arcsin(r+ y)dxd 0s:r<: 0s]-r 上式右端第个积分由对称性知其值为零,第二个积分 因被积题数在积分域上为非负不恒为零的连续函数,因 而积分值是正的.于是,原积分是正的 3913求函数 fCx, y)=sin rainy 在正方形:0≤x≤丌,0≤y≤丌内的平均值 解平均值 sin rsin yard y sin"rdi sines 12
4 3914.利用中值定理,估计积分 drd 100 1 cosT t cos r+ls|≤ 之值 解由于积分域的面积为200,故由积分中值定理知 1 100 + cos 2, +cos n200 200 100+cos2+cs2? 其中(,?)为域|x」+|y|≤10中的某点 显然 0≤cos25+cos2≤2, 我们证明必有 0<cos2'5 cosn<2. (2) 由于函数cos2x+cos2y在有界闭域|x|+|y≤10上 的最大值为2,最小值为0.从而连续函数 100+ cos2x + cos 在有界闭域|x|+|y≤10上的 最小值为102最大值为100如果cs6+os?=2,则 由(1)式知 cosy 102 y 100+coS x1-1yl<"1 但∫(x,y) 100+ cos'x cos y 102 是非负连续 函数,从而必有f(x,y)≡0(在域|x|+|y|≤10上), 13
即cQs2x+c(y2(作域|r!+|y≤10上:).这显然 是错误的由此可知,cqs+cos2y≤2.同理可让cos25 +cs2?>0.于是,(2)式成立,从而,得 102<<100即1:96<1<2 3915.求圆(x-a)2十(y-b)2≤R2上的点到原点的距离之 平方的平均 解平均值 (x2+y2)drd R 由于 丌R2 dxdy r2 t2-(r 6hr- )2d 3TR i K 「R2-( R 262x R R 2 ar( R 85R2_2(x 2 a)2)√R2-(x-a)2 tR 3R R + -arcsin R R TR 23R zR 14
同理,有 兀R2 dady R 」是 +b2+ 在问题3916-3922中对二重积分f(x,y)dxy内按 所指示的区域4依两个不同的烦序安置积分的」下限 3916.一以O(0,0),A(1,0),B(1,1)为顶点的三角形 解为方便起见将二重积分f(x,y)ddy记以1 于是,I=dxf(x,y)dy=|dyf(x,y)dx 39179一以O(0,0),A(2,1),B(-2,1)为顶点的三角形 图8.1 解如图8.1所示 OA的方程为y OB的方程为y
AB的方程为y1 于是 dy f(r,y)dx fCr, y)d dxf(',yd dxi f(, y)dy 2 3918.4—以O(0,0),A(1,0), B(1,2),C(0,1)为顶点的 梯形 解如图8.2所示,BC的 方程为y-1=x 于是, 图8.2 dx (c, y)dy dyf(r,y)dx+idy f(r,y)dx. 3919一圆x2+y2≤1 解 f(E,y)d f(r, y)dx 3920.93-圆x2+y2≤y 解如图8.3所示积分域的围线x2+y2=y即为 2 y 2 于是