2 66 及 63 于是,得北积 分的近似值为 t yds +÷+2 ] 63 0.577-0.816+2.0913)亠0.402, 其精确值为 +ydus ya) (1 )d 0.4 3905.把域S{x2+y2≤1}分为有限个直径小于δ的订求积的 子域ASi(=1,2,…,n).对于什么样的值δ能保证不 等式 sin(+y)dS->sin(x, +y, AS <0.l 成立?其中(x;,y)∈△S; 解记函数sin(x+y)在△S2中的振幅为c,则 sin(+ y)ds sin(x,+y;)△S Csin(a t y)- sin(x, y. )]ds Isin(x + y)sin(x, +y, )ds
ads AS 由于域S{x2+y≤l}的面积等于x,故只要 0.001 使能满足原不等式的要求。但因为 sup sin(x,+ y,) y,)」 4’,A ≤sup|(x;+y.)-(x;+y,) x…) ≤sup〔 1+」y-y|〕 ≤sup√2〔(x;-x,)2+( (」,y.)∈A5 √2 故只要取 δ<2丌 0.001÷0.00022 则有 sn(x+y)4S-∑sin(x,+y)△S.|<0.00 关)对于任意非负实数ab有 2ab≤a2+b或(a+b)2≤2(a2+b2), 从而 a+b≤√2(a2+b2). 计算积分: 8
3906. dx(x+y)dy 解dx(x+y)dy= +old 3907.dx|,xy2d 解d y dx= 40 3908. dpi r'sinodr 0 0 解 SIn sin Adlp P_1 sin 2p 3909.设R为矩形 a≤x≤A,b≤y≤B 证明等式 X(x)Y(y)dxdy= X(x)dx y(y)dy. b 证根据在矩形域的情况下化二重积分为逐次积分的 计算方法,不妨先对y后对x积分,即得 X(r)Y(y)drdy=i dx X(x)Y(y)dy I X(r)dx y(y)dy. 3910.设: fCx,y)=f y 计算 dr f(r, y)dy
解不妨按先对y后对x积分的顺序计算,即得 LF,(r,B)-F,(r,,)d F(,B)A一F(x,b F(.B)- F(a B)-F(4.b)+ F(u,bi 3911.设∫(x)为在闭风间4≤x≤b内的连续数,明不等 式 f(x)dx≤(b-a)/(x)d 此处仅当/(x)=常数时等号成 证因为 0≤|dxf(x)-f(y)ad!y 2( f(r)dr +(6-a)/(y)dy, 故有 f(x)dx≤(b-a)f2(x)dr 当f(x)=常数时,显然上式中等号成立反之,设上式 中等号成立,则 dx〔f(x)-f(y)ay=0 由于函数F(x)=|f(x)-f()ay是a≤x≤b上 的非负连续函数,故F(x)≡0(a≤x≤b).特别F(a) =0,即((f(a)-f(y)dy=0.又出于函数 (y)=〔J(a)-f(y)
是a≤yb上的非负连续函数,故((y)=0(a≤y≤ b).因此,∫(y)≡∫(a)(a≤y≤b),即f(x)一常数 证毕 3912.下列积分有什么样的符号 n( r'+ y )drdy; Wi.r- ydrdy csin(r- y)dxdy 解(a)由于0<x2+y2≤(|x+|y1)2≤1及n(x +y2)≤ln1-0,且当|x+|y|<1时lhn(x2+y2)< ln(x2+y2)dxdy≤0. (t)我们有 i-x2-y2drdy=I, --I 其中 V1-x2-yidrdy ∨x2+y2-1dxd ldd 显然