特别是,根据公式x=rcsy,y= rainy变换为极坐标r和φ情形 有 f(r, y)dxd. f(rcos, rsing)rdrd9. 3901把积分‖ rydxdy,当作积分和的极跟,用直线 n 把积分域分许多正方形,并选取被积函数在这些正方 形之右顶点的值计算所论积分的值 解由于 (n+1 An ro). 其中 n(n+1) n(n+1) 2 故 c dady 4 ≤ 3902.用直线 0,1, 把域1≤x≤2,1≤y≤3分为许多矩形.作出函数 f(x,y)x2+y2在此域内的积分下和S与积分上和 S.当n→∞时.上和与下和的极限等于什么? 解下和
1+ +(1+ 2 2n2 2 i+n十 +2 401 3n 其中 (n-1)n(2n-]) (n-1)n(2n-1) 上和 +1+ 2 2 40,11 ±+ 3n 当n+∞时,S与S的极艰均等于3=133 3903.用-系列内接正方形作为积分域的近似域,这些方形 的顶点A,在整数点,并取被积函数在每个正方形距原 点的最远的顶点之值近似地计算积分 dxdy 4+x2 并与精确的值加以比较。 解由题意知,应取的正方形顶点为(1,1),(1,2),(1, 3),(1,4),(2.1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(32)
(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),故利用对称性知 dxdy 1⊥2 24+x2+ 26 29 + 32 37 44 42 49 0.196+0.371+0.343+0.312+0.177 0.329+0.302+0.154+0.285 2.470 Eev 即 9.880 √24+x2+ 下面计算积分的精确值: Tay 24x2+ 41n(y+√24+x+ 4ln(√25-x2+7)dx-2|ln(24+x2)d 0 由于 ln(24+x2)dx=dn(24+x2)-f 24 xln(24+x2)-2x+ 24 actg +C 从而 2|In(24+x2)dx =[2xln(24+x2)-4x+48 actg 24小}0
20ln7-20+8√6 arct 又 4In(25 7)d. D =4xln(√25-x2+7)。 dr 4 0(√25 +7)√25 dx 20ln7+ (√25-x2+7)25 再令x=5sint,有 x“x 2t+25 0(√25 7)√25-x 5cost+7 (5cost- 2dt 24 de o 5cost+-7 ?t一5nt) 24 arct tg 7丌 2 5-4√6 arct 24 从而 4|ln(25-x2+7)dx 2ln7+14x-20-16 6 actg 24 注意到 Zarctg g 24 √24 最后便得到
ray 24十 14x-424(2ctg-2+ arte/24 √/24 2r(7 24)÷13.19. 将精确值与近似值作比较,显见误差较大,其原因 在于有不少不是正方形的域都被忽略,因而产生较大的 绝对误差431及较大的相对误差3.19÷32.7 注意,求 d.icl y 的精确值若釆用 24+x2+ 极坐标则较为简单: drd 24 /24 2x(7 24) 但按原习题集的安排,似应在3937题以后才开始使用 极坐标故本题仍用直角坐标进行计算 3904.用直线x-常数,y=常数,x+y=常数把域S分为 四个相等的三角形,并取被积函数在每令三角形的中线 交点之值.近似地计算积分 t 3ds 其中S表由直线x=0,y=0及x+y=1所围成的三 角形 解我们只须 1及x+y=2 分域S 即得四个相等的三角形,它们的面积均为女,重心为