《线性代数》第二章 矩阵（2.5）矩阵的初等变换与初等矩阵

(2)以数k≠0乘某行或某列,得初等倍乘矩阵。 以数k≠0乘单位矩阵的第祈(×k),得初等 矩阵E(i(k) E(i(k)) ←第i行

11 ( ( )). 0 ( ) E i k k i ri k 矩阵 以数  乘单位矩阵的第 行  ，得初等                       = 1 1 1 1 ( ( ))   E i k k  第 i 行 (2) 以数 k  0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵

(3)以数k≠0乘某行(列)加到另一行(列)上, 得初等倍加矩阵 以k乘E的第j行加到第行上(r+kr;) [或以乘E的第i列加到第j列上(cn+kc k ←第i E(j(O) ←第行 12

12 或以 乘 的第 列加到第 列上 ， 以 乘 的第 行加到第 行上 [ ( ) ( ) j i i j k E i j c kc k E j i r kr + +                       = 1 1 1 1 ( ( ))     k E ij k  第i行  第j行 (3) 以数 k  0 乘某行（列）加到另一行（列）上， 得初等倍加矩阵

初等矩阵是可逆的,逆矩阵仍为初等矩阵。 变换分r的逆变换是其本身, 则E(i,j)=E(i,j); 变换rxk的逆变换为 则E(i(k)=E(i(); 变换r×/r的逆变换为rx(-k), 则E(j(k)=E(j(-k 13

13 ( , ) ( , ) 则 1 ； 变换 的逆变换是其本身， E i j E i j r r i j =  − )); 1 ( ( )) ( ( 1 1 k E i k E i k r k r i i =   则 − 变换 的逆变换为 ， ( ( )) ( ( )) . ( ) 1 E ij k E ij k r kr r k r i j i j = −   − 则 − 变换 的逆变换为 ， 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵

初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 例1:计算 00 lI 12 In In ka. ka n 001 32 n n

14 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 例1：计算 11 12 1 21 22 2 31 32 3 1 0 0 (1) 0 0 0 0 1 n n n a a a k a a a a a a                11 12 1 21 22 2 31 32 3 n n n a a a ka ka ka a a a     =      