在x=a或x=b存在有限性自然边界条件 证]:设y(x)和y2(x)为(1)的解,且有界, 则Ax)(-09+(0 k(x)y2(x)-9(x)y2(x)+2p(x)y2(x)=0 (9)·y1-(8)·y2 y(x)k(x)2(x)-n1(x)k(x)(x)|=0 d 即2|k(x)y2-y2 dx
在 x a = 或 x b = 存在有限性自然边界条件 [证]：设 y x 1 ( ) 和 y x 2 ( ) 为（1）的解，且有界， 则 1 1 1 k x( ) y (x) q(x) y (x) lr(x) y x( ) 0 (8) ¢ é ù ¢ - + = ë û 2 2 2 k(x) y (x) q(x) y (x) lr(x) y x( ) 0 (9) ¢ é ù ¢ - + = ë û 1 2 (9)× y y - × (8) : 1 2 2 1 y ( x) k x( ) y (x) y (x) k x( ) y x( ) 0 ¢ ¢ é ¢ ¢ ù - = é ù ë û ë û 1 2 2 1 ( )( ) 0 d k x y y y y dx é ù ¢ ¢ - = ë û 即
积分:y2-y2y k(x 又∵y2独立,∴当去 y2 y21=2-y21 ≠常 y1 k(x)yi Y2=y1 d x t k(x)yi 当ka或kb)y2→O为0时, y2=→>有限
又∵ y y 1 2 , 独立，∴ 1 2 y y ¹ 常 (10) 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 - ( ) y y y y y C y y kxy æ ö ¢ ¢ ç ÷ = = ¹ è ø 常 0 2 1 1 2 1 ( ) x x C y y dx C kxy é ù = + ê ú ë û ∴ ò 当 k a( )或 k b( ) y2 ® ¥ 为0时， ∴ 2 , x a b y = ®有限 积分： 1 2 2 1 ( ) C y y y y k x ¢ - = ¢