《数学物理方程》课程PPT教学课件（讲稿）第十章 球函数 10.1 轴对称球函数 10.2 连带勒让德函数 10.3 球函数

例:在[-1,中将f(x)=2x2+3x+4展开为广义傅立叶级数。 解:比较P(x)=∑(-1)(-1) (2/-2k)! -2k k!2(l-k)(l-2k) 展开式最多含三阶勒让德多项式 (x)=1F(x) P2(x)==(3x2-1) P(x)=(5x32-3x) f(x)=2x+3x+4 =foP+fP+f2+fP =f+fx+f(5x3-3x f6+(-3)x+/3 f(x)=4B+-B+-B 2f3 621 f-23=3f=3

例： 在 [1,1] ，中将 f (x)  2x 3  3x  4 展开为广义傅立叶级数。 l k l k l k k l x k l k l k l k P x 2 [ / 2] 0 !2 ( )!( 2 )! (2 2 )! ( ) ( 1) ( 1)      解： 比较     展开式最多含三阶勒让德多项式。 ( ) 1 P0 x  P (x)  x 1 (3 1) 2 1 ( ) 2 P2 x  x  (5 3 ) 2 1 ( ) 3 3 P x  x  x ( ) 2 3 4 3 f x  x  x 0 0 1 1 2 2 3P3  f P  f P  f P  f (5 3 ) 2 1 3 0 1 3  f  f x f x  x 3 3 3 0 1 2 5 ) 2 3 ( x f x f  f  f   5 21 5 6 3 f1    2 2 5 f3  4 f0  5 4 f3  3 2 3 3 1   f f 0 1 3 5 4 5 21 f(x) 4P  P  P

例2f(x)=x f(x)=∑/P(x) f i= 2l+1 2+1. 2/(x)P(x)x 订(x)P(+xP(x)d 2+19 (x)R(x)d(x)+xP(x)dx 2/+1 2JxP(X)+P(x)dx P24(x)是奇函数:f2k=0

例2 f (x)  x f (x) x f x P x dx l f l l ( ) ( ) 2 2 1 1 1         0 ( ) ( ), l l l f x f P x [ ( ) ( ) ( ) ] 2 2 1 1 0 0 1 x P x dx xP x dx l   l   l    [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] 2 2 1 1 0 0 1 x P x d x xP x dx l  l     l   x P x P x dx l l l [ ( ) ( )] 2 2 1 1 0      P2k1(x) 是奇函数： 0 f2k 1 

4k+1 4k+1 2k ∫2xP2(xdk ? 2 22(2k!)ax2k(x2-12ax 4k+1 2k-1 2k-1 22(2/1)2x (x2-1) 2k|1 2k 0 0 4k+1d2k-2 22(2k)2ar2k2(x2-b2k

xP x dx k f k k 2 ( ) 2 4 1 2 1 0 2    x dx dx d x k k k k k k 2 2 2 1 2 0 2 2 ( 1) 2 (2 !) 4 1     [ ( 1) ( 1) ] 2 (2 !) 4 1 2 2 2 1 1 2 1 0 1 0 2 2 2 1 2 1 2 2 x dx dx d x dx d x k k k k k k k k k           1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 (2 !) 4 1 k k k k x dx d k k      

因 2k-2 2k-22k 2k|1 2k-2 X dx 2k-2 ∑(-1)-C2x2b 找出2n=2(k-1)项,它在x=0才不为零。 2k-2 k(2k-2)!/k1 2k-2 2k 4k+1 k 22(2k!) 2(-1)(2k-2)C2k xdx x=P(x)+∑ 1)4+4+1 (2k-2)C2kP2k(x) k=1 22(2k)

1 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 1 0 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) n n k k n k n k k k k k C x dx d x dx d          因 找出 2n  2(k 1) 项，它在 x=0 才不为零。 1 0 1 2 2 2 1 2 2 2 2 ( 1)        k k k k k k C x dx d 1 2 2 (2 2)! ( 1)     k k k C k 1 2 1 2 2 2 ( 1) (2 2)! 2 (2 !) 4 1       k k k k k k C k k f    1 0 0 2 1 f xdx (2 2)! ( ) 2 (2 !) 4 1 ( ) ( 1) 2 1 2 1 2 2 2 1 1 0 k C P x k k x P x k k k k k k         

例3 △=0, COS 6 拉普拉斯方程的轴对称问题 边界条件与角φ无关,可以推断 解也与角q无关。故m=0 解:由轴对称 (r,0)=2(4+B IATP(cos0) 球内含r=0 所以B,=0 (r,0)=∑4rP(cosb) l=0 边界条件: n1-0=s:→u(h,O)=∑4hP(cs)=cs9 =0

例3  2 0, cos 0 u  u rr  ( , ) ( ) (cos ) 0 1  l  l l l l l P r B u r  A r      解： 由轴对称 球内含 r  0 所以 Bl  0 ( , ) (cos ) 0  l  l l u r Alr P     2 cos 0 u rr      2 0 0 0 ( , )   (cos )  cos   l l l u r Alr P 拉普拉斯方程的轴对称问题 边界条件与角 无关，可以推断 解也与角  无关。故  m  0 边界条件：