《数学物理方程》课程PPT教学课件（讲稿）第十章 球函数 10.1 轴对称球函数 10.2 连带勒让德函数 10.3 球函数

3积分表示(施列夫积分) 由科西公式 ∠ P(x) 24! dx 1)-2n dz 27!c(2-x) C绕z=X点。 设半径为√x2-1 C上 e dz e dz [(x+√x 2 Ti 21! Jc(2-x)+I le dy 2 iy\/+ e x+2NV2-14+(-2-y-by 2ni o 1(-x2+2x√x2-le+(x2-1)e 12y 2丌 2√x2-le

3.积分表示（施列夫积分）        C l l l l l l l l dz z x z i l x dx d l P x 1 2 2 ( ) ( 1) 2 ! 1 2 1 ( 1) 2 ! 1 ( )  由科西公式 C 绕 z=x 点。 设半径为 1 2 x  C 上 i z x x 1e 2      dz i x e d i 1 2          i x e d x e x x e i l dz z x z i l i i l i l l C l l l 1 ( 1 ) [( 1 ) 1] 2 ! 1 2 1 ( ) ( 1) 2 ! 1 2 1 2 0 2 1 2 2 1 2                    i x e d x e x x x e x e i l i i i i ] 1 2 1 2 1 ( 1) 1 [ 2 1 2 0 2 2 2 2 2                d x e x x x e x e l i i i         0 2 2 2 2 2 ] 2 1 2 1 ( 1) 1 [ 2 1

Jix+vx2-1(e+e")Idy Ix+iv1-x cosy]dy P() P(-1)=(-1)

(1) 1 P1  l P( 1) ( 1) 1         x x e e d i i l       0 2 ( )] 2 1 [ 1 1     x i x d l [ 1 cos ] 1 2 0    

P(x) x+i√1-x2 cosy]' dy x=cos 0 P(x) Icos 0+isin 0 cosy'dy 个公式 P(x)=_lcos 0+isin 0 cos ' dy =_Jo [cos 0+sin2 8 cos y]"dy cos 0+sindy 0 即 P(x)≤1 二、正交关系和模 1正交关系 P(x)=1 P(xP(xdx=0

    P x x i x d l l [ 1 cos ] 1 ( ) 2 0     x  cos       P x i d l l [cos sin cos ] 1 ( ) 0          P x i d l l    0 cos sin cos 1 ( )       d l    0 2 2 2 / 2 [cos sin cos ] 1      d l    0 2 2 / 2 [cos sin ] 1 1 1 0       d 即 P (x) 1 l 二、 正交关系和模 (x) 1 ( ) ( ) 0 1 1    P x P x dx k l 1. 正交关系 一个公式

2.模 l-1 N2=J[P(x)]dx 4n(x2-1) dx dx dx (x2-1) dx dx l-1 )1-- r d-(x2-1y' dx 第一项为零,即 l-1 2 )(-1)dx(x2-1) 进行次分步积分后 2 I N 只有最高次幂才不为零,故

2. 模 N P x dx l l 2 1 1 2 [ ( )]    ) ( 1) [ ( 1) ] 2 ! 1 ( 2 1 1 2 1 1 2 l l l l l l l x dx d dx d x dx d dx l       ) { ( 1) [ ( 1) ] ( 1) [ ( 1) ]} 2 ! 1 ( 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 l l l l l l l l l l l l l x dx d dx d x dx d x dx dx d x dx d l              第一项为零，即 ) ( 1) ( 1) [ ( 1) ] 2 ! 1 ( 2 2 1 1 1 1 2 2 1 l l l l l l l l x dx d dx d x dx d dx l N        进行 l 次分步积分后 l l l l l l l x dx d dx x l N ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ! 1 ( 2 2 2 2 1 1 2 2       只有最高次幂才不为零，故

再逐次进行分步积分,得 21+1 即 2 广义傅立叶级数 定义在区间[-1的函数f(x)可以展开为广义傅立叶级数 f(x)=∑fP(x) 展开系数为 21+1 f 2 ∫f(x)P(x) 或区间[O,z]的函数f()展开为 f(O)=∑fP(Cos), =0 系数为 21+ f(Op(cose)sin 0de

再逐次进行分步积分，得 2 1 2 2   l Nl 即 2 1 2   l Nl 三、广义傅立叶级数 定义在区间 [1,1]的函数 f (x) 可以展开为广义傅立叶级数     0 ( ) ( ), l l l f x f P x 展开系数为 f x P x dx l f l l ( ) ( ) 2 2 1 1 1     或区间 [0, ] 的函数 f ( ) 展开为     0 ( ) (cos ), l lPl f  f  系数为      f P d l f l l ( ) (cos )sin 2 2 1 0   