《数学物理方程》课程PPT教学课件（讲稿）8.2 非齐次方程

82非齐次方程 波动方程 un x t 振动方程 u-au=f(x, t) (1)傅立叶级数法 例1 u-a COS ISn ot u,(, r= O u,(,D)=0 l=0=0(x)u1|=0=v(x) 解:源项恰好满足边界条件,故可设解为 (x,1)=∑Tn()cos nZA 带入泛定方程 2IT()+()T, (D]"=Acos,sin ot n=0 cOS z同次项 T"(O)+(")7()= Asin ot T"na}T1(1)=0(≠1)

8.2 非齐次方程 ( , ) 2 u a u f x t tt − xx = ( , ) 2 u a u f x t t − xx = 波动方程 振动方程 (1) 傅立叶级数法 例 1 t l x utt a uxx A   cos sin 2 − = ux (x,t) x=0 = 0 ux (x,t) x=l = 0 ( ) 0 u x t= = ( ). 0 u x t t= = 解： l x 源项 cos 恰好满足边界条件，故可设解为   = = 0 ( , ) ( ) cos n n l n x u x t T t  带入泛定方程 t l x A l n x T t l n a T t n n n     [ ''( ) ( ) ( )]cos cos sin 0 2  + =  = l nx cos 同次项 T t A t l a T t   ''( ) ( ) 1 ( ) sin 2 1 + = ''( ) ( ) ( ) 0 ( 1) 2 + T t = n  l n a T t n n 

解方程r"()+(m)3()=0(n≠1)必须知道Tn的初始条件 带入初始条件x0=∑(0os=0()=29 n7 u4(x,1)=∑T() v(x)=∑vn,cos 7(O)=9=7o(5kl5 7o'(0)=vo=15 ∥(d5 T2(0)=q J(5)c0+n5 d T"(0)=vn=1 y()cos nrts 得解 70()=+v0t n刀t 1(O)=%0s=n inin

带入初始条件    =  = = = = 0 0 ( ,0) (0) cos ( ) cos n n n n l n x x l n x u x T        =  = = = = 0 0 ( , ) '( ) cos ( ) cos n n n t n l n x x l n x u x t T t        d l T l  = = 0 0 0 ( ) 1 (0) ''( ) ( ) ( ) 0 ( 1) 2 + T t = n  l n a T t n n 解方程  必须知道 Tn 的初始条件    d l T l  = = 0 0 0 ( ) 1 '(0)       d l n l T l n n ( )cos 2 (0) 0  = =       d l n l T l n n ( )cos 1 '(0) 0  = = 得解 T t t 0 0 0 ( ) = + l n at n a l l n at T t n n n     ( ) = cos + sin

r"()+(2)7(0)= AsIn ot的解是齐次方程的通解和非齐次方程度特解的和。 zat l 通解 q1cos-,+—v1Sm 刀tmu 特解: osin nao-(ra/n) 刀ut A @"sin at] sin iat 1)211 @sin at mo2-(m/) ) mt;m、2 sin ot T()+(1)7() ozd at / sm @t]+ losin at_()2 sin at (m/D)21 (na/n2 Lo sin ot-G)sin at]= Asin ot t 7()= aat aa t (osin -sin @)+o, cos

T t A t l a T t   ''( ) ( ) 1 ( ) sin 2 1 + = 的解是齐次方程的通解和非齐次方程度特解的和。 通解： l at a l l at     1 cos + 1 sin 特解： ( sin sin ) ( / ) 1 2 2 t l a l at a a l Al        − − [ ( ) sin sin ] ( / ) 1 ''( ) 2 2 1 2 2 t l a l at l a a a l Al T t          − − = − [ sin sin ] ( / ) 2 2 2 t l at l a a l A       − − = − [ sin ( ) sin ] ( / ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 t l a l at l a a l A T t l a         − − = t A t l a t a l A t l a l at l a a l A t l at l a a l A T t l a T t                      [ sin ( ) sin ] sin ( / ) [ sin ( ) sin ] ( / ) [ sin sin ] ( / ) ''( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 − = − = − − − + − + = − l at a l l at t l a l at a a l Al T t             ( sin sin ) cos sin ( / ) 1 ( ) 1 2 2 − + 1 + 1 − =

Al rat a u(x, 4= (osin sin t )cos +po +yot+ a -(ra/n) nat nrcat nzax (, cos+yu sin -)cos n=1 nzda 并不是普遍地方法 (2)冲量定理法(波动方程)1-abn=(xD)m0xD=00x0)-=0 =9(x)l-0=D(x) a.解的分解 u'n=aur= un-au xr=f(, t) u(x,t 0 n(x,D)x0=0a(x,1)==0 0=0(x)l40=v(x) 0 这是普通道具有齐次边界条件的 初始值零点非齐次方程,可用 齐次方程 冲量定理法

( cos sin ) cos . ( sin sin )cos ( / ) 1 ( , ) 1 2 2 0 0 l n ax l n at n a l l n at t l ax t l a l at a a l Al u x t n n n                   = + + − + + + − = 并不是普遍地方法。 (2) 冲量定理法（波动方程） ( , ) 2 u a u f x t tt − xx = u(x,t) x=0 = 0 u(x,t) x=l = 0 ( ) 0 u x t= = ( ). 0 u x t t= = a. 解的分解 I II u = u + u 0 2 − xx = I tt I u a u ( , ) x=0 = 0 I u x t ( , ) x=l = 0 I u x t ( ) 0 u x t I = = ( ). 0 u x t t I = = ( , ) 2 u a u xx f x t II tt II − = ( , ) x=0 = 0 II u x t ( , ) x=l = 0 II u x t 0 t=0 = II u t t=0 = 0 II u 这是普通道具有齐次边界条件的 齐次方程 初始值零点非齐次方程，可用 冲量定理法

b.物理思想 时刻t单位长弦受力F(x,D)=f(x,D)

b. 物理思想 时刻 t 单位长弦受力 F(x,t) = f (x,t)