S10-2正弦稳态响应正弦电流激励的RC电路分析我们现在讨论图10-9所示RC电路，电路原来已经达到稳定状态，在t-0时刻断开开关，正弦电流i(t)=Ismcos(t+)作用于RC电路，求电容电压uc(t)的响应+t=0Ru.C图10-9
§10－2 正弦稳态响应 一、正弦电流激励的RC电路分析 图 10-9 我们现在讨论图10-9所示RC电路，电路原来已经达到 稳定状态，在t=0时刻断开开关，正弦电流i S (t)=ISmcos( t+ψi )作用于RC电路，求电容电压uC (t)的响应
+=0RucC首先建立>0电路的微分方程如下：dut≥0(10-7)= Ism cos(ot + y)ucEdt对应齐次微分方程的通解uch(t)为RCuch (t)= Kest = Ke微分方程特解ucp(t)的形式与电流源相同，为同一频率的正弦时间函数，即m cos(ot + yucp (t)=U
首先建立t>0电路的微分方程如下: cos( ) 0 (10 7) 1 d d C Sm i C + u = I t + t − t R u C 对应齐次微分方程的通解uCh(t)为 RC t st uCh (t) Ke Ke − = = 微分方程特解uCp(t)的形式与电流源相同，为同一频率 的正弦时间函数，即 ( ) cos( ) Cp = Cm + u u t U t
ucp (t) = Ucm cos(ot +)业为了确定U和，，可以将上式代入微分方程中dut≥0(10-7)= Ism cos(ot + y.)dtoCUcm sin( ot +.)cos(ot + yu) = I sm cos(ot + y)CmR求解得到Sm(10-8)m+(1/ R)0(10-9)u=;-arctan(oCR)D
为了确定UCm和ψu，可以将上式代入微分方程中 求解得到 arctan( ) (10 9) (10 8) (1/ ) u i 2 2 2 Sm Cm = − − − + = CR C R I U cos( ) 0 (10 7) 1 d d C Sm i C + u = I t + t − t R u C cos( ) cos( ) 1 sin( ) − Cm + u + Cm + u = Sm + i U t I t R C U t ( ) cos( ) Cp = Cm + u u t U t
微分方程的完全解为RC.+Uuc(t)=Ke(t≥0)cos(o t +y)Cm(10-10)可以求得K = uc(O)-Ucrcosy最后得到电容电压u(t)的全响应为RC(t≥0)+Ucmuc(t)=[uc(O)-Ucmcosy]·ecos(ot +yu暂态响应正弦稳态响应(10-11)
微分方程的完全解为 (10 10) ( ) e cos( ) ( 0) C Cm u − = + + − u t K U t t R C t 可以求得 C Cm u K = u (0) −U cos 最后得到电容电压uC (t)的全响应为 (10 11) ( ) [ (0) cos ] e cos( ) ( 0) C C Cm u Cm u − = − + + − u t u U U t t R C t 暂态响应 正弦稳态响应
本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的波形如图所示。曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当RC>0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到零，称为暂态响应。曲线2表示特解，它按照正弦规律变化其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应u.（0Uemcoscb图10-10
本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的 波形如图所示。曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当 RC>0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到 零，称为暂态响应。曲线2表示特解，它按照正弦规律变化， 其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后， 它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。 图 10-10