S9-3RLC并联电路的响应R?u图9-8RLC并联电路如图9-8所示，为了得到电路的二阶微分方程，列出KCL方程ir(t)+i(t)+ic(t)=is(t)
§9－3 RLC并联电路的响应 RLC并联电路如图9-8所示，为了得到电路的二阶微分 方程，列出KCL方程 ( ) ( ) ( ) ( ) R L C S i t + i t + i t = i t 图9-8
代入电容，电阻和电感的VCR方程diu(t) = ur(t) = uc(t) = Ldtdu金LCir (t)=Gu(t)= GLic(t)=dtdt得到微分方程diLC+GL+iL=is(t)dtdt这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程其特征方程为LCs? + GLs+ 1= 0+()-元由此求解得到特征根S1.20
代入电容，电阻和电感的VCR方程 2 L 2 C L R L L C d d d d ( ) d d ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) t i LC t u i t C t i i t G u t G L t i u t u t u t L = = = = = = = 得到微分方程 ( ) d d d d L S L 2 L 2 i i t t i GL t i LC + + = 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 其特征方程为 1 0 2 LCs + GLs + = 由此求解得到特征根 C LC G C G s 1 2 2 2 1,2 − = −
当电路元件参数GL.C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：福时，si,s,为两个不相等的实根G>2G=2时，s,,s,为两个相等的实根3.时，si,s,为共轭复数根。G<2/当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的
当电路元件参数G,L,C的量值不同时，特征根可能出现 以下三种情况： 1. 时，s1 ,s2为两个不相等的实根。 L C G 2 2. 时，s1 ,s2为两个相等的实根。 L C G = 2 3. 时，s1 ,s2为共轭复数根。 L C G 2 当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼 的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼 的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的
例9-7 电路如图9-8所示。已知G-3S,L-0.25H,C-0.5Fis(t)=ε(t)A。求>0时电感电流和电容电压的零状态响应RC+ue图9-8解：根据G,L,C的量值，计算出固有频率V33-8=-3±1=3+
例9-7 电路如图9-8所示。已知G=3S,L=0.25H, C=0.5F, i S (t)=(t)A。求t>0时电感电流和电容电压的零状态响应。 − − − = − − = − = = − 4 2 3 3 8 3 1 1 2 2 3 2 1,2 C LC G C G s 解：根据G,L,C 的量值，计算出固有频率 图9-8
这是两个不相等的实根，电感电流的表达式为i (t) = K,e-2t + K,e-4t +1A(t≥0)利用电容电压的初始值u（0=0和电感电流的初始值i（0)=0得到以下两个方程i(O)=K, +K,+lA=0di.(t)uc(O)C=-2K, -4K, =1=0dtL求得常数K=-2,K,-1。最后得到电感电流和电容电压it(t)=(-2e-2t +e-4t +1)A(t ≥0)u(t) = uc(t) = ie-2V(t> 0)edt
利用电容电压的初始值uC (0)=0和电感电流的初始值 iL (0)=0得到以下两个方程 0 (0) 2 4 d d ( ) (0) 1A 0 C 0 1 2 L L 1 2 = − − = = = + + = = L u K K t i t i K K t 求得常数K1 =-2,K2=1。最后得到电感电流和电容电压 (e e )V ( 0) d d ( ) ( ) ( ) ( 2e e 1)A ( 0) L 2 4 L C 2 4 L = = = − = − + + − − − − t t i u t u t L i t t t t t t 这是两个不相等的实根，电感电流的表达式为 ( ) e e 1A ( 0) 4 2 2 L = 1 + + − − i t K K t t t