《电路分析》课程电子教案（PPT教学课件）第八章 一阶电路分析 8.8 正弦信号激励的一阶电路

S8-8正弦信号激励的一阶电路RUR+=uL图8-49RL串联电路本节讨论一阶电路在正弦信号激励下的响应。对于图8-49所示RL串联电路中，在电压源的正弦电压us(t)=Usmcos(ot+y,)激励下，以电感电流i(t)为变量的电路方程为di(t≥ 0)(8 - 42)+i=Usmcos(ot+yu)dt

§8－8 正弦信号激励的一阶电路 本节讨论一阶电路在正弦信号激励下的响应。对于图8 －49所示RL串联电路中，在电压源的正弦电压uS (t)= USm cos(t+u )激励下，以电感电流i(t)为变量的电路方程为 cos( ) ( 0) (8 42) dt d + i = USm t + t  − i L   u 图8－49 RL串联电路

这是一个线性常系数非齐次一阶微分方程。它的解答由两部分组成(8-43)i(t)= in(t)+ip(t)i(t)是对应齐次微分方程的通解，其形式为Rin (t)= Kes = KeKe式中T-L/R是电路的时间常数，K是待定常数，由初始条件和输入共同确定

这是一个线性常系数非齐次一阶微分方程。它的解答 由两部分组成 ( ) ( ) ( ) (8 43) i t = i h t + i p t − i h (t)是对应齐次微分方程的通解，其形式为  t t L R st i t K K K − − ( ) = e = e = e h 式中=L/R是电路的时间常数，K是待定常数，由初始 条件和输入共同确定

i(t)是非齐次微分方程的特解，其形式为(0)=I" co2(0 t+N)为了确定待定常数，将上式代入微分方程（8－42)中可以得到LImosin(ot +y) +RImcos(ot +y)=Usm cos(ot +y由此求得I和oarctanW,=VumRR? +(L)

i p (t)是非齐次微分方程的特解，其形式为 ( ) cos( ) p m i i t = I  t + 为了确定待定常数，将上式代入微分方程(8－42)中可 以得到 sin( ) cos( ) cos( ) m i m i s m u − LI  t + + RI t + =U t + 由此求得Im和i       = − + = R L R L U I i u     arctan ( ) 2 2 Sm m

将I和V代入式（8-43）得到L+ Imcos(ot+y)i(t)= KeR-L0SmKe+arctancOSot+wRR? +(oL)?假如初始条件为零，即（0.)=0，代入上式求得待定常数KoLSmK=-Imcos(y,)COSarctan一RR+(oL)最后得到电感电流的表达式为+ Im cos(ot +y)i(t)=-mcos(y,)eOLOSmn-arctanarctanCOScosot+yU4RRR2R+(oL)+(oL)

将Im和i代入式（8－43）得到 ( )       + − + = + = + + − − R L t R L U K i t K I t u t L R i t L R       cos arctan ( ) e ( ) e cos 2 2 Sm m 假如初始条件为零，即i(0+ )=0，代入上式求得待定常数K       − + − = − = R L R L U K I i u     cos arctan ( ) cos( ) 2 2 Sm m 最后得到电感电流的表达式为 ( )       + − +  +      − + − = = − + + − − R L t R L U R L R L U i t I I t u t L R u i t L R i           cos arctan ( ) cos arctan e ( ) ( ) cos( )e cos 2 2 Sm 2 2 Sm m m

由此式可以看出，在一阶电路时间常数>0的情况下电感电流的第一项是一个衰减的指数函数，它经过(3～5)t的时间基本衰减到零，称为暂态响应。电感电流的第一项是一个按照正弦规律变化的函数，其角频率与激励正弦电源的相同，称为正弦稳态响应图8-50画出电感电流的暂态响应，正弦稳态响应以及完全响应。由此曲线可以看出在经过（3～5）的时间后，暂态响应衰减到零，电感电流的全响应实际上就是按正弦规律变化的正弦稳态响应。这个结论适合于时间常数大于零的任何线性时不变一阶电路，以后还将推广到固有频率实部为负数的n阶线性时不变动态电路

由此式可以看出，在一阶电路时间常数>0的情况下。 电感电流的第一项是一个衰减的指数函数，它经过(3～5) 的时间基本衰减到零，称为暂态响应。电感电流的第二项 是一个按照正弦规律变化的函数，其角频率与激励正弦电 源的相同，称为正弦稳态响应。 图8-50画出电感电流的暂态响应，正弦稳态响应以及 完全响应。由此曲线可以看出在经过(3～5)的时间后，暂 态响应衰减到零，电感电流的全响应实际上就是按正弦规 律变化的正弦稳态响应。这个结论适合于时间常数大于零 的任何线性时不变一阶电路，以后还将推广到固有频率实 部为负数的n阶线性时不变动态电路