例1求[(x? +)dxdy,其中D是由曲线y=x2 和x=2所D围平面闭区域1.2y=x?x=解：求曲线的交点：= (0,0), (1,1)0.8(x= y20. 6J=x?0.40≤x≤1将D看作X-型区域0.2(x?≤y≤Vx0.20.40.60.8[ (x? + y)dxdy= f' dx[ (x? + y)dyD33=J'[x(x-x)+(x-x*)]dx140试试把D看成Y-型！A
2 2 (0,0) (1,1). y x x y 解：求曲线的交点： ， 2 ( ) D x y dxdy 1 22 4 0 1 [ ( ) ( )] 2 x x x x x dx 2 y x 2 x y 2 22 1 ( ) . D x y dxdy D y x x y 例 求 ，其中 是由曲线 和 所 围平面闭区域 -6- 将 看作 型区域 D X : 试试把 看成 型！ D Y 0 1 x 2 xy x 2 1 2 0 ( ) x x dx x y dy 33 140
例2计算其中，D由y=x，=，x=2围成do,2xLD1≤x≤22.5解：D(X-型):[l<ysx2x1.5Ddo-rady0.52.50.51.5A2-『(-兰)dxD看成Y-型时，C(x3 - x)dx :计算比较复杂！A-7-
D 解： 型 ： D ( ) X 2 2 1 2 2 D x d D y xy x y x 例 计算 ，其中， 由 ， ， 围成． - 7 - D 看成 型时， Y 计算比较复杂！ 2 2 D x d y 2 2 1 1 ( ) x x x dx y 2 3 1 ( ) x x dx 9 . 4 1 y x x 1 2 x 2 2 1 2 1 x x x dx dy y
例3求[[x’e-~dxdy,其中，D是以为顶点(0,0),(1,1),(0,1)D的三角形解：「e-"dy无法用初等函数表示，0.8.积分时必须考虑次序，先对x积分.0.60.4JJ xe-" dxdy = f,dyf' xe-"dx0.2Dy0.20.40.60.81dy3ydl6C
2 2 1 2 2 0 0 y y y D x e dxdy dy x e dx 2 3 1 0 3 y y e dy 2 2 1 2 0 6 y y e dy ). 2 (1 61 e 2 2 3 ) (0,0),(1,1),(0 1 . , y D x e dxdy D 例 求 ，其中， 是以为顶点 的三角形 2 y e d x y 解： 无法用初等函数表示， 积分时必须考虑次序，先对 积分. -8-
18-2V2例 4 交换积分[=J°dx[ f(x,1)dy+[2 dxJ.-- f(x,y)dy次序解：积分区域D由两部分组成（X-型）0≤≤8-x2[0≤≤x?D2:D:0≤x≤22≤x≤2/2y画出D的图形：y=x?将D=D,+D,视为Y-型区域2/20≤y≤2x?+y? =82D:3V2y≤x≤/8-y2D2D.:8-1dyyof(x,y)dxx=22/204-9-
2 2 2 22 8 2 00 2 0 4 (, ) (, ) x x I d x f x y dy dx f x y dy 例 次序. 交换积分 D 2 y o x 2 D1 1 2 2 y x 解：积分区域 由两部 组成( 型) D X 分 : 将 D D1 D 2 视为 Y 型区域 2 2 8 0 2 (, ) y y I dy f x y dx D: 2 2 2 x y 8 2 2 2 2 - 9 - 画出 的图形 D : 1 2 2 1 0 : 0 2 y x D x ， 2 2 0 8 : 2 22 y x D x 2 2 8 y x y 0 2 y
练习交换积分=[,dx[V2x-* ]f(x, y)dy + I" dxf2-* f(x, y)dy的次序Y2v=2-x1.5dyJ/f(x,y)dxy= /2x+x2一10.5a20.511.5-10-
y 2 x 2 y 2x x 2 1 2 22 00 1 0 (, ) (, ) xx x I dx f x y dy dx f x y dy 练习 交换积分 的次序 2 1 2 0 11 (, ) y y I dy f x y dx -10-