810.2二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分
§10.2 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 -1-
一、利用直角坐标计算二重积分★用几何观点讨论(/f(x,y)do的计算，D曲顶的方程：z=f(x,y)≥0;底D: (x)≤y≤2(x),a≤x≤b(如图).截面面积： A(x)=[n (x,)dlyz=f(x,y)立体体积：V=A(x)dxL- I'tja) f(x, y)dyldxy=p2(xA(X)又V= J[ f(x, y)doj=p(x)D0bxaXo21-故，J f(x, y)do = f'lfo" f(x, y)dyldxD2
一、利用直角坐标计算二重积分 1 2 (, ) 0 () () z f xy D x y x axb 曲顶的方程： ； 底 ： ， (如图). (, ) D f xyd ★ 用几何观点 论讨 的计算 ． - 2 - 2 1 ( ) ( ) () (, ) x x A x f x y dy 截面面积： 2 1 ( ) ( ) (, ) [ (, ) ] b x a x D f x y d f x y dy dx 故， ( ) b a V A x dx 立体体积： 2 1 ( ) ( ) [ (, ) ] b x a x f x y dy dx (, ) D V f x y d 又
★计算公式特点：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界(I)D为X-型区域(如图)相交不多于两点y=(x)y=(x)1或1 y=@(x)y=(x)xbxboaoaD=((x,y)/ a≤x≤b; g(x)≤y≤q(x))改写-b(x)[J f(x, y)dxdy=f'tfa f(x, y)dy]dxdxf(x, y)dyo(x)JaD累次积分，从右向左积-3-
(1) D X 为 -型区域(如图)： (, ) D f x y dxdy ★ 计算公式 D y D 穿过 内部且平行 于 轴的直线与 的边界 相交不多 特点： 于两点. -3- D xy ( , )| 或 1 y x ( ) a b 2 y x ( ) a b 1 y x ( ) 2 y x ( ) axb ； 1 2 () () x y x 2 1 ( ) ( ) (, ) b x a x dx f x y d y 21 ( ) ( ) [ (, ) ] b x a x f x y dy dx 改写 累次积分，从右向左积
特点：穿过D内部且平行(2)D为Y-型区域(如图)于x轴的直线与D的边界相交不多于两点，LaCDoiX=()x或x=Φ2(y)D$2(y)大6coxxOD=((x,y)/c≤y≤d, d(y)≤x≤(y)改写V[[ f(x, y)dxdy=J"tfa) f(x, y)dx]dydyf(x,y)dxd（yD累次积分，从右向左积
(2) D Y 为 -型区域(如图)： (, ) D f x y dxdy D x D 穿过 内部且平行 于 轴的直线与 的边界 相交不多 特点： 于两点. -4- D xy ( , )| 或 cyd ， 1 2 () () yx y 2 1 ( ) ( ) [ (, ) ] d y c y f x y dx dy 21 ( ) ( ) (, ) d y c y dy f x y dx 改写 累次积分，从右向左积
3）D为非X-型或非Y-型区域（如图）：将D分割成若干个互不重叠的X-型或Y-型区域；利用积分对区域的可加性：D = + +D3DD.D.D
(3) 为非 型或非 型区域(如图) DX Y - - ： 123 . DDDD -5- D - - D X Y 将 成若干个互不重叠 分 型或 割 的 型区域； D1 D2 D3 利用积分对区域的可加性：